¿Qué significa y cómo se define si la acción de un grupo está destinada a ser ergódica? ¡Gracias por sus respuestas!
Respuesta
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He aquí un contexto de acción de grupo donde la ergodicidad surge de forma natural. Como señaló Martin, la definición dada en el recuadro gris se aplica a situaciones más generales en las que no se requiere que las transformaciones sean conservadoras de la medida, y el grupo no es contablemente discreto.
Tome una medida de probabilidad del espacio $(X, \mathcal {A}, \mu )$ y dejar que un grupo discreto contable $G$ actúan sobre ella mediante transformaciones que preservan las medidas.
Primero, esto significa que cada $g \in G$ induce un mapa medible $g:X \longrightarrow X$ de tal manera que $ \mu (g^{-1}(A))= \mu (A)$ para cada conjunto medible $A \in\mathcal A$ . Es estándar escribir $g \cdot x$ para $g(x)$ .
En segundo lugar, tenemos una acción de grupo: la identidad de $G$ induce la identidad en $X$ y $g \cdot (g' \cdot x)=(gg') \cdot x$ para cada $g,g' \in G$ y $x \in X$ .
La acción $G \curvearrowright (X, \mathcal A, \mu )$ se llama ergódico si $$ g \cdot A=A \quad \forall g \in G \quad\Rightarrow\quad \mu (A)=0 \mbox { or } 1. $$ Es decir, hasta la medida $0$ los únicos conjuntos medibles invariables bajo la acción de $G$ son $ \emptyset $ y $X$ .
Observaciones: 1) Como señaló Stéphane Laurent, el caso particular $G= \mathbb {Z}$ corresponde a la acción de una única medida que preserva la transformación $T$ . Entonces la acción es ergódica si y sólo si $T$ es ergódica de la manera habitual. 2) Por la representación de Koopman $u_g(f):=f \circ g$ tenemos una representación unitaria $g \longmapsto u_g$ de $G$ en $L^2(X)$ . En particular, $u_g(1_A)=1_A \circ g=1_{g^{-1}(A)}$ para cada $A$ medible. Así que la ergodicidad dice: no hay proyecciones no triviales $p \in L^ \infty (X)$ de tal manera que $u_g( p)=p$ para cada $g \in G$ . Identificando $f \in L^ \infty (X)$ con la multiplicación $m_f$ por $f$ en $L^2(X)$ entramos $B(L^2(X))$ : $u_gm_fu_g^*=m_{f \circ g}$ . Y ahora la ergodicidad dice: no hay proyecciones no triviales en $L^ \infty (X) \subseteq B(L^2(X))$ que viajan con $G \subseteq B(L^2(X))$ .
Ejemplo: tomar un espacio Borel estándar $(X, \mathcal {B}, \mu )$ equipado con un $ \sigma $ -Medida de probabilidad finita, es decir, una medida estándar del espacio. Entonces cada acción de grupo ergódico esencialmente libre $G \curvearrowright (X, \mathcal B, \mu )$ por un grupo infinito y discreto, da lugar a una $ \rm {II}_1$ factor El álgebra de Von Neumann $L^ \infty (X) \rtimes G$ por el llamado la construcción del espacio de medida de grupo de von Neumann. Siempre que $G$ es susceptible y $X \simeq [0,1]$ nos encontramos de esta manera, hasta el isomorfismo, el único (por el profundo trabajo de Connes) inyectable $ \rm {II}_1$ factor $ \mathcal {R}$ .
