La presentación de la versión homológica del teorema de Cauchy en Ahlfors es ingeniosa, pero barre mucha de la topología bajo la alfombra usando argumentos ingeniosos. Esta pregunta es un intento de reconciliar la noción analítica de Ahlfors de que una curva es homóloga a cero (presentada en su libro Análisis complejo y originalmente debido a E. Artin, creo) con la definición estándar en homología como se encuentra en Hatcher.
Trabajamos en el plano complejo y arreglamos $a \in \mathbb C$ . Deje que $ \gamma $ ser un mapa continuo $[0,1] \rightarrow C \backslash \{ a\}$ . Siguiendo a Munkres en su libro Topología definimos el número de vueltas de $ \gamma $ con respecto al punto $a$ considerando
$$g(t)= \frac { \gamma (t)-a}{| \gamma (t)-a|}.$$
Esto es claramente un bucle en $S^1$ y corresponde a algún múltiplo del generador del grupo fundamental de $S^1$ . Si el generador es $ \tau $ y $g(t)$ corresponde a $m \tau $ , $m \in\mathbb Z$ definimos el número de cuerda $n( \gamma , a)$ para ser $m$ . Esta es la definición de número de cuerda que usaré en esta pregunta, pero en caso de que $ \gamma $ es diferenciable por partes, corresponde a la definición analítica por integración dada en Ahlfors.
Ahlfors llama a una curva contenida en una región abierta $ \Omega $ homólogo a cero si $n( \gamma ,a)=0$ para todos $a \in \Omega ^c$ .
En la teoría de la homología, tal como la entiendo, llamaríamos a una curva homóloga a cero si representa el elemento cero en $H_1( \Omega , \mathbb Z)$ . Eso es, $ \gamma $ es el límite de algún singular $2$ -cadena.
Mi pregunta: ¿Por qué todas estas nociones concuerdan? ¿Por qué la definición de Ahlfors de ser homólogo a cero (usando la definición de Munkres de número de cuerda) está de acuerdo con la homología habitual?
Me gustaría usar la definición de Munkres porque funciona para las curvas continuas, no sólo para las diferenciables a destajo, y me parece que la equivalencia debe mantenerse en esta generalidad.
Editar: Este resultado aparece como la proposición 1.9.13 en el libro de Berenstein y Gay sobre análisis complejos.
