Una pregunta sobre la prueba de Seifert - van Kampen

Question

Estoy estudiando Topología Algebraica usando El libro de texto de Hatcher como mi principal referencia, y hay un detalle en la demostración del Teorema de Seifert - van Kampen (página 43) que aún no tengo claro. El núcleo de la prueba de la segunda parte del enunciado (la que se refiere a las relaciones) está donde dice (página 45):

Si podemos demostrar que dos factorizaciones cualesquiera de $[f]$ son equivalentes, esto dirá que el mapa $Q \rightarrow \pi_1(X)$ inducido por $\phi$ es inyectiva, por lo que el núcleo de $\phi$ es exactamente $N$ y la prueba estará completa.

No estoy exactamente seguro de a qué resultado se refiere Hatcher aquí, pero tal y como yo lo veo, esta afirmación es una especie de inversa del teorema del homomorfismo clásico (si $\phi: G \rightarrow G'$ es un homomorfismo de grupo, entonces $ \phi $ define canónicamente un mapa inyectivo ${G}/{\ker \phi} \rightarrow G'$ ). Para hacer las cosas más rigurosas, dije lo siguiente

Lema Dejemos que $\phi: G \rightarrow G'$ sea un homomorfismo de grupo y $N \leq \ker \phi $ ( $N$ no necesariamente normal en $G$ ). Sea $G/N^r$ sea el conjunto de cosets derechos de $N$ . Entonces podemos definir \begin{align} \tilde{\phi}: G/N^r &\rightarrow G' \\ Nx &\mapsto \phi(x) \end{align} y si $\tilde{\phi}$ es inyectiva entonces $\ker \phi = N$ .

He conseguido demostrar este lema (si es necesario, editaré la pregunta para incluir dicha demostración), pero el problema ahora es que ¡parece un resultado demasiado fuerte! Lo que dice el teorema es que el núcleo de $\Phi$ es el subgrupo normal generado por todo el $i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha}(\omega)^{-1}$ no dice que el núcleo es el subgrupo generado por todos esos elementos, que además resulta ser normal. Aplicando el lema anterior a la prueba de Hatcher, con $G = \ast_{\alpha} \pi_1({A_\alpha)}, N = \langle \{ i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha }(\omega)^{-1}: \omega \in \pi_1 (A_{\alpha} \cap A_{\beta}) \}\rangle, \phi = \Phi$ (nota que $N \leq \ker \phi$ al principio de la página 43), y al subsumir cada instancia de $Q = \ast_{\alpha} \pi_1(A_{\alpha})$ con el conjunto de cosets derechos, se podría demostrar así una versión más fuerte del teorema (tomando $\ker \Phi$ para ser el subgrupo generado por el $i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha }(\omega)^{-1}$ 's , y no su cierre normal; la normalidad de dicho subgrupo sería entonces una consecuencia del hecho de que es el núcleo de un homomorfismo de grupo). Esto me hace sospechar que puedo estar entendiendo algo mal...
Así que, para resumir, estas son mis preguntas:

• ¿Qué estoy entendiendo mal? ¿He entendido mal el enunciado del teorema, está mal el lema o se utiliza la normalidad del subgrupo en alguna otra parte de la demostración? ¿O todo es correcto?

• ¿Puede alguien proporcionar un ejemplo explícito en el que la "versión más fuerte" del teorema no se cumpla: es decir, en el que $ \langle \{ i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha }(\omega)^{-1}: \omega \in \pi_1 (A_{\alpha} \cap A_{\beta}) \}\rangle $ es diferente de $\langle \{ i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha }(\omega)^{-1}: \omega \in \pi_1 (A_{\alpha} \cap A_{\beta}) \}^{\ast_{\alpha} \pi_1(A_{\alpha})} \rangle $ .

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que el fallo en tu razonamiento viene antes en la prueba. En el párrafo anterior, Hatcher define dos movimientos que se pueden realizar en una factorización de $[f]$ . El segundo movimiento es

Considere el término $[f_i]\in\pi_1(A_\alpha)$ como mentir en el grupo $\pi_1(A_\beta)$ en lugar de $\pi_1(A_\alpha)$ si $f_i$ es un bucle en $A_\alpha\cap A_\beta$ .

Respecto a este movimiento, Hatcher afirma que

[Este movimiento] no cambia la imagen de este elemento en el grupo cociente $Q=\ast_\alpha\, \pi_1(A_\alpha)/N$ por la definición de $N$

Este es el paso en el que Hatcher utiliza la hipótesis de que $N$ es normal. En particular, si $N$ eran simplemente el subgrupo generado por los elementos $i_{\alpha\beta}(\omega)i_{\beta\alpha}(\omega)^{-1}$ (en lugar del subgrupo normal generado por estos elementos), este movimiento no necesariamente preservar la imagen de este elemento en $G/N$ .

Answer 2

Creo que hay que señalar que existe otro estilo de prueba, y se utiliza para dar una prueba de la versión que utiliza muchos puntos base, en este groupoides . Con el resultado para muchos puntos base, se puede calcular el grupo fundamental del círculo, que es, después de todo, EL ejemplo básico en topología algebraica. La prueba dada allí sólo hace la unión de 2 conjuntos abiertos, pero da la prueba por

verificación de la propiedad universal ,

que es un procedimiento general de gran utilidad en matemáticas. Por ejemplo, este método se utiliza para demostrar versiones de mayor dimensión del Teorema de van Kampen. Este método también evita la descripción del resultado mediante generadores y relaciones.

Answer 3

Ok, al menos puedo mostrar por qué si $N$ es un subgrupo normal de $*_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})$ , $N\subseteq \ker\Phi \subseteq *_{\alpha}(A_{\alpha})$ y $\Phi:*_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})\rightarrow\pi_{1}(X)$ es inyectiva, entonces $\ker\Phi=N$ .

La razón es la siguiente: tenemos el siguiente diagrama

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} *_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})/N & \ra{\Phi} & \pi_{1}(X) \\ \da{f} & & \da{id} \\ *_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})/\ker\Phi & \ras{\Phi} & \pi_{1}(X) & \\ \end{array} $$

y el mapeo $f$ que hace que el diagrama conmute es el siguiente:

$$ \begin{eqnarray} f:&*_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})/N\rightarrow *_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})/\ker\Phi\\ & gN\rightarrow g\ker\Phi \end{eqnarray} $$

Por el hecho de que $\Phi:*_{\alpha}\pi_{1}(A_{\alpha})/N\rightarrow \pi_{1}(X)$ es inyectiva, esto hace que $f$ un homomorfismo inyectivo. Por otro lado, $f$ también es sobreyectiva. Por un teorema de la teoría de grupos (tercer teorema de isomorfismo), $\ker f=(\ker\Phi)/N$ . Pero $f$ también es inyectiva, por lo que $(\ker\Phi)/N=\{N\}$ . Por lo tanto, si $x\in\ker\Phi$ entonces $xN=N$ significa que $x\in N$ . Así que $\ker\Phi=N$ .

Lo que no entiendo es por qué

Considere el término $[f_{i}]\in \pi_{1}(A_{\alpha})$ como mentir en el grupo $\pi_{1}(A_{\beta})$ en lugar de $\pi_{1}(A_{\alpha})$ si $f_{i}$ es un bucle en $A_{\alpha}\cap A_{\beta}$ .

implicaría que

[Este movimiento] no cambia la imagen del elemento en $Q$ ...