¿Determina un J de 4 corrientes un tensor F único de Maxwell-Faraday hasta la isometría?

Question

Las ecuaciones de Maxwell en una colecta pseudo-riemanniana $(M,g_{ab})$ digamos,

$$d_a F_{bc} = \nabla_{[a}F_{bc]} = 0,$$

$$\nabla_a F^{ab} = J^b,$$

donde $d_a$ es la derivada exterior, $\nabla_a$ es la derivada covariante compatible con $g_{ab}$ (es decir $\nabla_a g_{bc}=0$ ), y $F_{ab}$ es antisimétrico ( $F_{ab}=-F_{ba}$ ).

Dejemos que $J^a, F_{ab}$ y $\tilde{J}_a, \tilde{F}_{ab}$ sean dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell en esta forma. Supongamos que $J^a$ y $\tilde{J}^a$ son equivalentes hasta la isometría, en el sentido de que $\varphi_*J^a = \tilde{J}^a$ para alguna isometría $\varphi:M\rightarrow M$ .

Pregunta : ¿Se deduce que $F_{ab}$ y $\tilde{F}_{ab}$ son equivalentes hasta la isometría, en el sentido de que $\varphi_*F_{ab} = \tilde{F}_{ab}$ ?

Wald's Relatividad general (1984, capítulo 10, problema 2) muestra un sentido en el que la respuesta es afirmativa en el caso sin fuente ( $J^a=\mathbf{0}$ ). Me pregunto qué se sabe sobre el caso no libre de fuentes.

Answer 1

No, también necesitas una condición inicial para el campo, y una condición de contorno para el campo. Una solución de onda plana a las ecuaciones de Maxwell tiene la misma corriente 4 que el vacío, después de todo.

Answer 2

Ok, aquí está mi propio (pedante) argumento de que la respuesta es "No". Tres pasos de fondo:

1. Toma $(M,g_{ab})$ y $(\tilde{M},\tilde{g}_{ab})$ para ser dos variedades pseudo-riemannianas relacionadas por una isometría $\varphi:M\rightarrow\tilde{M}$ . Utilizaré sistemáticamente una tilde ( $\tilde{}$ ) para referirse a los objetos del segundo colector y sin tilde para referirse a los objetos del primero. Sea $\varphi_*$ sea el pushforward y $\varphi^*$ el retroceso de $\varphi$ .

2. Dejemos que $F_{ab}$ y $J^a$ sea cualquier solución de las ecuaciones de Maxwell en $(M,g_{ab})$ que no está libre de fuentes, es decir, $\nabla_a F^{ab} = J^b \neq \mathbf{0}$ .

3. Dejemos que $\tilde{E}_{ab}$ y $\mathbf{0}$ sea una solución no trivial de las ecuaciones de Maxwell en $(\tilde{M},\tilde{g}_{ab})$ que es fuente libre, es decir $\nabla_a E^{ab} = \mathbf{0}$ y $E_{ab}\neq\mathbf{0}$ .

Ahora, podemos plantear el contraejemplo: dejemos que $\tilde{F}_{ab}$ sea el campo tensorial en $(\tilde{M},\tilde{g}_{ab})$ definido por,

$$\tilde{F}_{ab} := \varphi_*F_{ab} + \tilde{E}_{ab}.$$

Es antisimétrico y cerrado, ya que ambos $\varphi_*F_{ab}$ y $\tilde{E}_{ab}$ son, por lo que proporciona una solución a las ecuaciones de Maxwell. Dejemos que la corriente 4 asociada a $\tilde{F}_{ab}$ sea dada por,

$$\tilde{J}^b := \tilde{\nabla}_a \tilde{F}^{ab}.$$

Entonces, $J^b$ y $\tilde{J}^b$ están relacionados por una isometría:

$$\varphi_*J^b = \varphi_*\nabla_a F^{ab} = \nabla_a \varphi_*F^{ab} = \nabla_a(\tilde{F}^{ab} - \tilde{E}^{ab}) = \nabla_a\tilde{F}^{ab} = \tilde{J}^b,$$

donde la segunda igualdad aplica el hecho de que $\varphi$ es una isometría, la tercera la definición de $\tilde{F}_{ab}$ y el cuarto el hecho de que $\tilde{E}_{ab}$ es libre de fuentes. Y sin embargo, $\varphi_*F_{ab}\neq \tilde{F}_{ab}$ por la construcción.

Qué curioso.