Estoy tratando de demostrar que $\operatorname{GL}(4,2)\cong \operatorname{Alt}(8)$. Como parte de la prueba ya sé que $\operatorname{Alt}(7)\subset \operatorname{GL}(4,2)$ y $[\operatorname{GL}(4,2):\operatorname{Alt}(7)]=8$. La prueba, dice que desde $\operatorname{GL}(4,2)$ es simple, el isomorfismo deberán contar, pero no puedo ver por qué! Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se ha demostrado que la $GL(4,2)$ tiene un subgrupo $H$ de índice de $8$. $GL(4,2)$ los actos de la izquierda cosets de H por la izquierda de la multiplicación. Esto define un homomorphism $f$$GL(4,2)$$S_8$. Desde $GL(4,2)$ es simple y la acción es trivial, el núcleo de $f$ es trivial, por lo $f$ es en realidad una incrustación de $GL(4,2)$ a $S_8$. Por lo tanto $GL(4,2)$ es isomorfo a un índice $2$ subgrupo de $S_8$, de los cuales, $A_8$ es el único.
