$\sin n>0$, $a_n=1/n \, ,\sin n<0$, $a_n=-1/n \, , \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ convergen?

Question

Definir la secuencia de $a_n$ como: Si $\sin n>0$, $a_n=1/n$, y si $\sin n<0$, $a_n=-1/n$.

¿La serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ convergen?

Answer 1

Uso dirichlets de la prueba, que dice: $$\sum_{i=1}^\infty a_i \epsilon_i$$ converges when $a_i$ es monótona decreciente sucesión convergente a cero, y la $$\left|\sum_{i=1}^n \epsilon_i \right|< M$$ for all $n$, (La suma es limitado), donde $\epsilon_i$ $-1$ si $\sin(i)<0$ $1$ si $\sin(i)>0$.

Como $\sin(n)$ es uniforme distribuida en $(-1,1)$ usted debe ser capaz eligió $M=10$ (supongo que $4$ sería suficiente).

Answer 2

Definir la función sign $\mathrm{sgn} : \Bbb{R} \to \{-1, 0, 1\}$

$$ \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}. $$

A continuación, podemos reformular $(a_n)$

$$ a_n = \frac{\mathrm{sgn}(\sin n)}{n}. $$

Ahora vamos a $s_n = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{sgn}(\sin k)$ ser la suma de los signos. Entonces por sumación por partes,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} a_k &= \sum_{k=1}^{n} \frac{s_{k}-s_{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{s_{k}}{k} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{s_{k}}{k+1} \\ &= \frac{s_{n}}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{s_{k}}{k(k+1)}. \end{align*}

Desde el Weyl del criterio, se sigue que

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{s_n}{n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{sgn}(\sin x) \, dx = 0. $$

Esto demuestra que $s_n = o(n)$. Pero esto por sí solo es insuficiente para demostrar o refutar que la serie converge o no. Los cálculos numéricos de la $(s_n)$ $n = 10^7$

muestra que el crecimiento de $(s_n)$ es altamente suprime, lo que indica la posibilidad de que la serie converge.