Cómo encontrar una solución para la ecuación funcional $\phi(f(x))=f'(x)\phi(x)$ ?

Question

Dado $f$ Cómo encontrar algunos $\phi$ para que $\phi(f(x))=f'(x)\phi(x)$ ?

Si te fijas, la ecuación funcional dada es de la forma Ecuación de Julia . Sin embargo, parece que no puedo encontrar un buen artículo sobre esta ecuación, así que he venido aquí para preguntar por los métodos que se utilizan para resolver esta ecuación funcional. También me ayudaría si usted puede proporcionar un ejemplo.

Answer 1

No es exactamente una respuesta, pero es un buen comienzo.

Si $\Psi(x)$ es la función de Schroder de $f$ entonces $\Psi(f(x)) = \lambda\Psi(x)$ . Por lo tanto, $\Psi'(f(x))f'(x) = \lambda\Psi'(x)$ y si $\phi = \frac{1}{\Psi'(x)}$ entonces $\phi(f(x)) = \frac{f'(x)}{\lambda}\phi(x)$ . Los dominios de la holomorfía dependen de dónde $\Psi$ se define. Por lo general, esto es localmente sobre un punto fijo, lo que significa $\phi$ es holomorfa en una vecindad de este punto fijo. Si $\Psi$ (o $f$ ) no tienen puntos críticos en la cuenca inmediata, entonces $\phi$ es holomorfo allí. No estoy seguro, pero creo que esto es lo mejor que se puede hacer usando la función de Schroder.

Para encontrar $\Psi(x)$ generalmente utilizamos el límite de Schroder alrededor de un punto fijo. WLOG asume $f(0) = 0$ . Dejemos que $\lambda = f'(0)$ . Si $0<|\lambda| < 1$ entonces

$$\Psi(x) = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(x)}{\lambda^n}$$

si $|\lambda| > 1$ luego dejar que $g(x) = f^{-1}(x)$

$$\Psi(x) =\lim_{n\to \infty}g^{\circ n}(x)\lambda^n$$

Esto da una solución en una vecindad de $0$ , generalmente se puede ampliar. Los casos degenerados $\lambda = 0$ o $|\lambda| = 1$ son mucho más esporádicos y normalmente no existe ninguna solución.

En el caso general, no estoy seguro de cómo eliminar $\lambda$ de la ecuación funcional. Normalmente, la ecuación de Julia se utiliza cuando $\lambda = 1$ Pero, lamentablemente, esta solución no se deduce de los métodos anteriores. Puede que tenga que abrir un libro o dos para recordar cómo se construye realmente la ecuación que se busca.

Editar:

Así que como me pareció recordar, la solución es sólo cuando $\lambda = 1$ no hay solución cuando $\lambda$ es cualquier otra cosa. Por lo tanto, lo mejor que se obtiene en el caso general es lo que acabo de escribir arriba. Sin embargo, para una construcción agotadora cuando $\lambda = 1$ observar las referencias de

https://www.math.ucla.edu/~matthias/pdf/itlog-final.pdf

Los documentos de interés, según deduzco, son de Ecalle. Es el mago cuando $\lambda = 1$ .