límite de $(e^x-1)^{\frac{1}{x}}$ - Sin L'hôpital

Question

Estoy teniendo problemas para calcular el siguiente límite:

$$\lim_{x\to\infty}(e^x-1)^{\frac{1}{x}}$$

Me di cuenta (Con la ayuda de wolfram) que el límite es de $e$, pero no puedo entender por qué.

He intentado utilizar la $x^a = e^{a\ln(x)}$ pero eso no ayuda, porque la base es $e^x-1$

Cualquier sugerencia o aclaración es bienvenida!
PS: no puedo usar L'hôpital (etiquetados de forma tan específica)

Answer 1

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\left(e^x-1\right)^{1/x}=e\left(1-e^{-x}\right)^{1/x}$$

El límite, $\lim_{x\to \infty}\left(1-e^{-x}\right)^{1/x}$, no es de forma indeterminada, ya que $1^0=1$.

Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \lim_{x\to \infty}\left(e^x-1\right)^{1/x}&=\lim_{x\to \infty}\left(e\left(1-e^{-x}\right)^{1/x}\right)\\\\ &=e\lim_{x\to \infty}\left(1-e^{-x}\right)^{1/x}\\\\ &=e \end{align}$$

Answer 2

Si $$ L=\lim_{x\rightarrow \infty}(e^x-1)^{1/x}\Rightarrow \log L=\log\lim_{x\rightarrow \infty}(e^x-1)^{1/x}\stackrel{\text{continuidad del logaritmo}}{\Rightarrow} \lim_{x\rightarrow \infty}1/x\log(e^x-1)\stackrel{L'Hôpital de la regla}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{e^x}=1\Rightarrow\log L=1\Rightarrow e=L $$ Para quitar L'Hôpital: $$ \lim_{x\rightarrow \infty}1/x\log(e^x-1)\sim \lim_{x\rightarrow \infty}1/x\log(e^x)=\lim_{x\rightarrow \infty}x/x=1 $$

Answer 3

Tenemos: $\ln \left(\left(e^x-1\right)^{1/x}\right) = \dfrac{\ln(e^x-1)}{x}$. Puede utilizar la regla de L'hospital de aquí..y su respuesta sería $e^L$, mientras que de $L$ es el límite de la L'hospital.

Answer 4

$$ \lim _{x\to \infty }\left(\left(e^x-1\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{\frac{1}{x}\ln(e^x-1)}\approx \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}\ln(e^x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x}=1 \rightarrow \color{red}{e^1} $$

Answer 5

$$ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;\infty } \left( {e^{\,x} - 1} \right)^{\,1/x} = \mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;\infty } e^{\,x/x} \left( {1 - e^{\, - \,x} } \right)^{\,1/x} = \hfill \\ = e\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;\infty } \left( {1 - e^{\, - \,x} } \right)^{\,1/x} = e\mathop {\lim }\limits_{y\; \to \;0} \left( {1 - e^{\, - \,\frac{1} {y}} } \right)^{\,y} = \hfill \\ = e\mathop {\lim }\limits_{y\; \to \;0} \left( {\left( \begin{gathered} y \\ 0 \\ \end{reunieron} \right)e^{\, - \,\frac{0} {y}} - \left( \begin{gathered} y \\ 1 \\ \end{reunieron} \right)e^{\, - \,\frac{1} {y}} + \left( \begin{gathered} y \\ 2 \\ \end{reunieron} \right)e^{\, - \,\frac{2} {y}} + \cdots } \right) = \hfill \\ = e \ \ hfill \\ \end{se reunieron} $$