¿Debe ser una biyección un mapa inyectivo o suryectivo en un espacio vectorial de dimensión infinita?

Question

Si tenemos un espacio vectorial de dimensión finita V y transformación lineal $F: V\to V$ y sabemos que F es inyectiva, sabemos inmediatamente que también es biyectiva (lo mismo ocurre si sabemos que F es suryectiva).
Tengo curiosidad por saber si se aplica la misma regla si V es un espacio vectorial de dimensión infinita, y sabemos que F es inyectiva/suryectiva, ¿implica de nuevo inmediatamente que F ¿es también biyectiva (intuitivamente creo que sí)?

Answer 1

No, no es así. Considere el espacio $\ell_\infty$ de secuencias acotadas de números reales. El mapa

$$S:\ell_\infty\to\ell_\infty:\langle x_0,x_1,x_2,\ldots\rangle\mapsto\langle 0,x_0,x_1,x_2,\ldots\rangle$$

que desplaza cada secuencia un término a la derecha y añade un $0$ es lineal, inyectiva y claramente no suryectiva.

Answer 2

No es así, tomemos por ejemplo el operador lineal $D$ el mapa de derivadas de

$$C^\infty(\Bbb R)\to C^\infty(\Bbb R)$$

Entonces este mapa es claramente suryectivo por la FTC, pero no es inyectivo ya que la derivada de cualquier constante es $0$ por lo que el espacio nulo no es trivial.

Answer 3

Otro contraejemplo, tomado del álgebra:

Sea $K$ sea un campo, y consideremos la dimensión infinita $K$ -espacio vectorial de polinomios en una indeterminada, $V=K[X]$ . Multiplicación por $X$ es un mapa lineal, que es inyectivo, pero no suryectivo, ya que no se alcanzan polinomios con un término constante distinto de cero.

Answer 4

No es así.

Tomemos el espacio de las secuencias reales, y la transformación

$T(u) = v$ donde $v_n = u_{n+1}$

Entonces $T$ es suryectiva, pero no inyectiva.

Answer 5

Ejemplo abstracto: tome una base $(b_i)_{i\in I}$ del espacio. Sea $J\subset I$ con $|J| = |I|$ y $\sigma:I\longrightarrow J$ una biyección. La función lineal definida por $$S(b_i) = b_{\sigma(i)},$$ es inyectiva pero no suryectiva mientras que $$T(b_i) = b_{\sigma^{-1}(i)},i\in J,$$ $$T(b_i) = 0,i\in I\setminus J,$$ es suryectiva pero no inyectiva.