El primer divisores de $5a^4-5a^2+1$

Question

Demostrar que el primer divisores de $5a^4-5a^2+1$, para cualquier entero $a > 0$, son congruentes $\pm 1 \pmod{20}$.

Tenemos $f(a) = 5a^4-5a^2+1 = 5a^2(a^2-1)+1 \equiv 0 \pmod{p}$. Entonces a partir de la una de la $a^2$ $a^2-1$ es divisible por $4$ sabemos que $f(a) \equiv 1 \pmod{20}$. Así, el primer divisores de $a$ son de la forma $1,3,7,9,11,13,17,19$ modulo $20$. ¿Cómo podemos seguir desde aquí?

Answer 1

El siguiente es un intento de aplicar ingeniería inversa a mi comentario bajo el OP a una solución que no requiere la teoría algebraica de números. A medida que puedo reemplazar con datos básicos sobre campos finitos. Creo que una solución, incluso con las más elementales herramientas que está ahí fuera.

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Suponga que $p$ es un primer factor de $f(a)=5a^4-5a^2+1$ para algunos entero $a$. Claramente $f(a)$ es impar y congruente a $1$ modulo de cinco, por lo $p\neq2,5$. Esto implica que cualquier eventual ceros de la xx cyclotomic polinomio $$ \Phi_{20}(x)=x^8-x^6+x^4-x^2+1 $$ en algunas campo $K$ de los característicos $p$ han multiplicativo de la orden de los veinte (los ceros de $h(x)=x^{20}-1$ en su división de campo de más de $K$ son todos simples, debido a que $h'(x)=20x^{19}$ es coprime a $h(x)$).

Considere la ecuación $$ \frac1a=z+\frac1z\Longleftrightarrow z^2-a^{-1}z+1=0\qquad(*) $$ sobre el campo $\Bbb{F}_p$. Este es cuadrática en $z$, por lo que tiene una solución ya sea en el campo de $\Bbb{F}_p$ o en su extensión cuadrática $\Bbb{F}_{p^2}$. Vamos a tratar estos dos casos por separado, pero primero hacemos las observaciones que $$ (z+\frac1z)^4-5(z+\frac1z)^2+5=\frac{\Phi_{20}(z)}{z^4}, $$ y también que (como consecuencia de $(*)$) $$ (z+\frac1z)^4-5(z+\frac1z)^2+5=\frac{1-5a^2+5a^4}{a^4}=\frac{f(a)}{a^4}=0. $$ Por lo tanto, podemos concluir que $z$ ha multiplicativo orden de veinte.

1. Si $z\in\Bbb{F}_p^*$ esto implica inmediatamente que $20\mid p-1$. Esto es debido a que el grupo $\Bbb{F}_p^*$ es cíclico de orden $p-1$. En este caso debemos tener $p\equiv1\pmod{20}$.
2. Si $z$ es un elemento de la cuadrática extensión de $\Bbb{F}_p$ en su lugar, entonces el polinomio $g(x)=x^2-a^{-1}x+1$ es irreducible en a $\Bbb{F}_p[x]$. Pero, de $(*)$ vemos que los ceros de $g(x)$$z$$1/z$. Por la teoría de Galois también son $\Bbb{F}_p$-conjugados, por lo que podemos deducir que $1/z=z^p$. Por lo tanto, también tenemos que $z^{p+1}=1$. En consecuencia,$20\mid p+1$, y en este caso tenemos a $p\equiv-1\pmod{20}.$