Cómo factorizar esta $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$?

Question

Cuando yo estaba en la escuela secundaria, nuestro profesor nos mostró una técnica para simplificar la plaza
raíces como esta $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ que se me olvidó.
Fue algo así como 8 = 7+1; 7 = 7*1; y mediante ellos podemos representar $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ en forma más sencilla. Yo sería feliz si usted puede mostrar cómo funciona, y cómo esta técnica se llama.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$8=1^2+(\sqrt{7})^2$$

y $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$.

Answer 2

$$\sqrt { 8-2\sqrt { 7 } } =\sqrt { { \left( \sqrt { 7 } \right) }^{ 2 }-2\sqrt { 7 } +1 } =\sqrt { { \left( \sqrt { 7 } -1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 7 } -1$$

Answer 3

Tal vez la fórmula que no recuerdo es: $$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac {- \sqrt{a^2-b}}{2}}$$ que se puede verificar con facilidad ( véase mi respuesta a la pregunta similar: el Almacenaje de una raíz cuadrada: $\sqrt{7 + \sqrt{14}}$) y funciona bien cuando se $a^2-b$ es un cuadrado perfecto.

En este caso tenemos: $$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}=\sqrt{8 - \sqrt{28}} \quad \Rightarrow \quad a^2-b=36$$

y, utilizando la fórmula: $$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}=\sqrt{7}-1$$

Answer 4

Trate de hacer un cuadrado perfecto en el interior de la raíz cuadrada, como se puede ver que $$2\sqrt{7}=2\times1\times\sqrt{7}$$ and $$8=1+(\sqrt{7})^2$$ Then apply $$a^2+b^2-2ab=(a-b^2)$$

Answer 5

Usted podría acercarse a este mediante el establecimiento $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt a \pm \sqrt b$ algunos $a,b$. Luego, el cuadrado ambos lados, tenemos:

$$8 - 2\sqrt{7} = a \pm 2\sqrt{ab} + b,$$

de modo que $8=a+b$$-2\sqrt7 = \pm 2\sqrt{ab}$.

En otras palabras, el $\pm$ signo debe ser $-$, y ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones $\{8=a+b, 7=ab\}$ que es fácilmente resuelto. Cualquiera de las $a=7$ $b=1$ (que funciona) o $a=1$ $b=7$ (a los que nos rechazan por $1-\sqrt 7 < 0$).