Si hay un cuadrado perfecto en una progresión aritmética, entonces hay infinitos

Question

Considera los siguientes enteros positivos: $$a,a+d,a+2d,\dots$$ Supongamos que hay un cuadrado perfecto en la lista de números anterior. Entonces demuestra que hay infinitos cuadrados perfectos en la lista anterior. ¿Cómo puedo hacerlo?

Al principio empecé de esta manera: Que el $n$ El término es el cuadrado perfecto. Por lo tanto, $$t_n=a+(n-1)d=m^2.$$ Entonces creo que voy a poner valores en la posición de $n$ . Pero no he podido encontrar nada de este nivel. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(m+d)^2=m^2+(2m+d)\cdot d$$

Answer 2

Dejemos que $n^2$ sea el cuadrado conocido.

Entonces $n^2+kd=m^2$ equivale a $kd=(m-n)(m+n)$ . Puede tomar $m-n$ sea cualquier múltiplo de $d$ y $k$ sigue.

Answer 3

Empezando por donde lo dejaste, supón que el $k$ es un cuadrado perfecto tal que $$a_k = a_1 + (k-1)d = p^2$$

Ahora añade $2pmd + m^2d^2 $ a ambos lados donde $m$ es un número natural que nos da $$\Rightarrow a_1 + (k-1)d + 2pmd + m^2d^2 = p^2 + 2pmd + m^2d^2 $$ $$\Rightarrow a_1 + [(k-1)+2pm+m^2]d = (p+md)^2$$

El lado derecho es un cuadrado perfecto, y el lado izquierdo es el $(k-1+2pm+m^2)$ para infinitos valores de $m $ . Espero que sea de ayuda.

Answer 4

Supongamos que dado $a_n = a+n*d = x_n^2$ existe teóricamente otro valor $a_n' = a+n'*d = x_n'^2$ donde todos los números son enteros.

Tomando la diferencia entre estos números se obtiene: $$ a_n' - a_n = a_n'- a_n\\ (a+n'*d) - (a+n*d) = x_n'^2 - x_n^2\\ (n' - n)d = (x_n' - x_n)(x_n' + x_n) $$ Al establecer las expresiones externas iguales entre sí, y las expresiones internas iguales entre sí, se obtiene: $$x_n' - x_n = d \\x_n' = d + x_n$$ y $$n' - n = x_n'+x_n\\n' = n + x_n'+x_n\\n' = n + d + 2 x_n$$

Por lo tanto: Si $a_n = a + n*d = x_n^2$ es un cuadrado, puede utilizar estos valores para generar un nuevo cuadrado más grande dentro de la secuencia donde: $a_n' = a + n'd = a + (n+d+2*x_n)*d$ . Esto será: $x_n'^2 = (d+x_n)^2$ .