Es la secuencia $\sqrt{p}-\lfloor\sqrt{p}\rfloor$ , $p$ se ejecuta sobre los números primos , densa en $[0,1]$?

Question

Otra formulación del título :

Si tenemos los números reales $a,b$$0<a<b<1$, podemos encontrar siempre un primer $p$ tal que $a<\sqrt{p}-\lfloor\sqrt{p}\rfloor<b$ se mantiene ?

Las partes fraccionarias de los números $\sqrt{2}\cdot n$ , $n$ se ejecuta sobre los enteros positivos, los que se conocen incluso equidistributed modulo $1$, por lo que siempre podemos encontrar un número natural $n$ $a<\sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor<b$ $a,b$ como en el anterior, pero ¿cuál es la situación si nos restringimos a los números primos ?

Answer 1

La pregunta es si las partes fraccionarias $\{\sqrt{p}\}$, $p$ ejecución sobre los números primos, son densos en $[0,1]$. Se puede demostrar que el resultado más fuerte que las fracciones son equidistributed modulo 1.

Por Weyl del criterio de primaria y de las estimaciones, es suficiente para mostrar que $$\sum_{n \leq x} \Lambda(n) e(h \sqrt{n}) =o(x)$$ para cada uno de ellos fijo entero $h \neq 0$, el implícita constante, posiblemente, dependiendo del $h$. Aquí $\Lambda$ es la de von Mangoldt función y $e(x) = e^{2\pi i x}$. Este exponencial de la suma puede ser limitada mediante Vaughan identidad y directas exponencial de la suma de las estimaciones.

Delimitación de este exponencial de la cantidad realmente se muestra como un ejercicio en el capítulo 13 de Iwaniec y Kowalski, el libro de la teoría analítica de números. Por desgracia, no tengo una copia a mano en el momento. Tal vez alguien aquí puede obtener la referencia para nosotros. Otro lugar para empezar podría ser la Xiumin Ren papel "Vinogradov exponencial de la suma de los números primos", el cual puede ser encontrado aquí.

Answer 2

vamos a utilizar el lema:

Deje $u_n$ un aumento de la secuencia tal que $u_n \to \infty$$u_{n+1}-u_n \to 0$. A continuación, $u_n-\lfloor u_n \rfloor $ es denso en $[0,1]$

Prueba: Por contradicción: tome $a,b$, de modo que no $u_{n+1}-u_n$ entre $a$$b$:

A continuación, hay un número infinito de términos tales que $u_n-\lfloor u_n \rfloor <a<u_{n+1} -\lfloor u_{n+1} \rfloor$. para estos n, $u_{n+1}-u_n> b-a$, lo $u_{n+1}-u_n$ no converge a cero.

Sólo tenemos que demostrar que $\sqrt(p_{n+1})-\sqrt(p_n) \to 0$