Distancia de la elipse al origen

Question

Calcular la distancia mínima del origen a la curva

$$3x^2+4xy+3y^2=20$$

El único método que conozco son los multiplicadores de Lagrange. ¿Existe algún otro método para cuestiones de este tipo? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Siempre puedes intentar escribirlo en coordenadas polares:

$$3r^2+4r^2\sin\theta\cos\theta=20$$ $$r^2=\frac{20}{3+2\sin2\theta}\ge\frac{20}{3+2}=4$$

Answer 2

Una pista: $4xy \le 2(x^2+y^2), 3x^2+3y^2 = 3(x^2+y^2) \implies 5(x^2+y^2) \ge 20 \implies x^2+y^2 \ge .....$

Answer 3

Esta elipse está centrada en el origen.

La distancia que busca es igual a la longitud del eje menor.

Lo siguiente que hay que saber es que se ha girado 45 grados.

$x = \frac {\sqrt 2}{2} x' + \frac {\sqrt 2}{2} y'\\ y = -\frac {\sqrt 2}{2} x' + \frac {\sqrt 2}{2} y'$

Lo girará a la posición estándar.

O bien, los egienvalores de $\begin{bmatrix} 3&2\\2&3\end{bmatrix}$ son $1$ y $5$

$x'^2 + 5y'^2 = 20\\ \frac {x'^2}{20} + \frac {y'^2}{4} = 1$

$2$

Answer 4

Por inspección (o ver este para una referencia adicional si es necesario), podemos ver que se trata de una elipse con centro en el origen y ejes de simetría $y=\pm x$ . Sustituyendo en la ecuación de la elipse se obtienen los puntos finales de los ejes menor y mayor respectivamente: $$\\\begin{align} 3x^2\pm 4x^2+3x^2&=20\\ 2x^2, 10x^2, &=20\\ x&=\pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{10}\end{align}$$ La distancia del origen a los ejes semimayor/seminor viene dada por $\sqrt{x^2+y^2}=|x|\sqrt{2}$ .
La distancia más corta del origen a la elipse es el semieje menor, es decir $$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\color{red}2$$

Answer 5

Teniendo en cuenta que es una elipse con eje corto $y=x$ encontrar cruces de esta línea con la elipse.