¿Es posible que haya una $X\subset\Bbb R^2$ tal que para todas las líneas $\ell$ en el plano, tenemos que $X\cap\ell$ tiene medida $1$ en $\ell$ ?
No sé lo suficiente de la teoría de las medidas para ver cómo resolverlo.
Respuesta
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Bajo CH, hay un conjunto de este tipo. Para construirlo, hay que enumerar todas las líneas $\{L_i : i < \omega_1\}$ y construir $S$ inductivamente como sigue. Empezaremos con un $S$ . En la etapa $i$ Supongamos que $S$ está contenida en $\bigcup \{L_j : j < i\}$ y cumple con cada $L_j$ al final uno, por $j < i$ . Tenga en cuenta que $L_i \cap \bigcup \{L_j : j < i\}$ es contable. Así que podemos elegir un subconjunto compacto contenido en $L_i$ de longitud uno que es disjunta con $\bigcup \{L_j : j < i\}$ y añadirlo a $S$ . Por supuesto, esto $S$ no es medible pero el Teorema 7 aquí de Kolountzakis y Papadimitrakis demuestra que no puede ser.
Obsérvese que esta construcción también funciona siempre que todos los conjuntos de tamaño inferior al continuo sean nulos. Pero no veo inmediatamente cómo hacer esto sólo en ZFC.
