¿Se han estudiado antes los "ángulos algebraicos"?

Question

Estoy escribiendo una biblioteca de software geométrico y se me ocurrió un concepto útil.

Llamemos a un número real $\alpha$ un ángulo algebraico si $\alpha\in[0,2\pi)$ y $\cos \alpha$ es un número algebraico. El conjunto de ángulos algebraicos tiene algunas propiedades muy interesantes:

• El seno, coseno y tangente de un ángulo son algebraicos.
• Definir la negación y la adición de ángulos de la forma habitual, envolviendo en $2\pi$ . Entonces los ángulos algebraicos son cerrados bajo negación y adición (ya que $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ ).
• Definir la multiplicación de un ángulo algebraico por un número racional para que también envuelva a $2\pi$ . Al multiplicar un ángulo algebraico por un racional se obtiene otro ángulo algebraico. Esto se puede demostrar a partir de la identidad $\cos(n\alpha)=T_n(\cos\alpha)$ que me enteré de que aquí . $T_n$ es un Polinomio de Chebyshev del primer tipo . En particular, es un polinomio con coeficientes enteros.
• Desde $\pi$ es un ángulo algebraico, también lo es cualquier múltiplo racional de $\pi$ en $[0,2\pi)$ .
• Los ángulos algebraicos son un espacio vectorial sobre los racionales (aunque no he demostrado nada interesante utilizando este hecho). No son un espacio vectorial porque $x(y\alpha)$ no es necesariamente igual a $(xy)\alpha$ . Por ejemplo, $(1/2)(2\cdot\pi)$ es $0$ pero $(1/2\cdot 2)\pi$ es $\pi$ .

¿Ha aparecido el conjunto de ángulos algebraicos en la literatura académica? Los ángulos algebraicos individuales aparecen en todas partes en la geometría: por ejemplo, el ángulo interior entre dos caras de un dodecaedro regular es $\arccos(-\frac{1}{5}\sqrt{5})$ .

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Permítanme explicar por qué un ángulo algebraico dividido por un número entero da lugar a un ángulo algebraico: Supongamos que $\cos\alpha$ es algebraico, por lo que existe algún polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(\cos\alpha)=0$ . Sea $n$ sea un número entero positivo. Por la identidad de Chebyshev anterior, $P(T_n(\cos(\alpha/n)))=0$ Así que $\cos(\alpha/n)$ es algebraico.

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Editado 2017-01-10:

Bien, después de leer algunas de las respuestas y comentarios me di cuenta de que las propiedades interesantes de los ángulos algebraicos se hacen evidentes si se considera cómo se transforman bajo $\alpha\mapsto e^{i\alpha}$ . Los ángulos algebraicos se convierten en puntos algebraicos del círculo unitario, la negación de los ángulos se convierte en conjugación compleja, la suma de ángulos se convierte en multiplicación compleja y la multiplicación por un racional se convierte en elevación a una potencia racional. Está claro que la algebraicidad se preserva con cada una de estas operaciones.

Answer 1

Sólo para señalar, considere la sustitución habitual de Weierstrass. Es decir, empezar con el punto $(-1,0)$ en el círculo unitario y formar la línea que lo conecta con el punto $(0,h)$ para $0h1$ . Entonces es fácil ver que esta línea se encuentra de nuevo con el círculo unitario en el punto $P(h)=\left( \frac {1-h^2}{1+h^2},\frac {2h}{1+h^2}\right)$ . De ello se desprende que, si $h$ es algebraica, entonces también lo son las dos coordenadas de $P(h)$ .

A la inversa, dado un punto $Q(\theta)=(\cos \theta,\sin \theta)$ en el primer cuadrante del círculo unitario, podemos recuperar $h$ como $h=\frac {1-\cos \theta}{\sin \theta}$ . Por lo tanto, si ambas coordenadas son algebraicas, también lo es $h$ . (N.B.: observe que $h=\tan \frac {\theta}2$ ).

Así, hasta unas pocas reflexiones, Las coordenadas de los puntos del círculo que corresponden a sus ángulos algebraicos (es decir, los $\sin$ y $\cos$ de esos "ángulos algebraicos") son sólo transformaciones racionales de los números algebraicos en $[0,1]$ .

Answer 2

Quiero precisar tu afirmación de que "Los ángulos algebraicos son un espacio vectorial sobre los racionales", ya que tal y como está, es tristemente incorrecta. En primer lugar, ya que se pueden sumar ángulos algebraicos y multiplicarlos por enteros (que es lo que has demostrado con el argumento del polinomio de Tchebyshev) y como los ángulos algebraicos viven dentro del conjunto $\mathbb R/2 \pi \mathbb Z$ (que es el conjunto en el que "los números reales envueltos $2\pi$ " viven en), el conjunto de ángulos algebraicos es un $\mathbb Z$ -(también conocido como subgrupo) del $\mathbb Z$ -módulo (también conocido como grupo) $\mathbb R/2 \pi \mathbb Z$ . Sin embargo, este último es no a $\mathbb Q$ -espacio vectorial ya que cuando $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $F$ y $(v,\lambda) \in V \times F$ con $v,\lambda \neq 0$ entonces $\lambda v \neq 0$ . Este no es el caso de $\mathbb R/2\pi \mathbb Z$ en $\mathbb Q$ desde $2 \cdot \pi = 2\pi = 0 \pmod{2\pi}$ .

La afirmación correcta sobre la multiplicación sería la siguiente: si $\alpha \in \mathbb R/2 \pi \mathbb Z$ es un número real módulo $2\pi$ y $n \in \mathbb Z$ un número entero tal que $n \alpha$ es un número algebraico que no es múltiplo de $2\pi$ entonces $\alpha$ es un número algebraico.

Obsérvese que la demostración de que $n \alpha$ es un entero algebraico cuando $\alpha$ también se puede demostrar por inducción en $n$ utilizando su fórmula para la adición ya que $n\alpha = (n-1)\alpha + \alpha$ .

Espero que eso ayude,

Answer 3

Lo que estás describiendo es sólo el grupo ortogonal especial $SO_2(\Bbb R_{\rm alg})$ del campo de los números reales algebraicos, que también se podría describir como $U_1(\overline{\Bbb Q})$ para una elección de conjugación (compleja) en el cierre algebraico $\overline{\Bbb Q}$ de $~\Bbb Q$ y el hecho de que se trata de un grupo divisible.