En un espacio métrico X, si está conectado, es su interior conectado?

Question

Creo que int(A) también está conectado. Traté de usar un argumento por contradicción, es decir, supuse que int(A) no está conectada, pero sin éxito

Answer 1

¿Qué hay de esto? Dos cerrados discos de la tangente en un punto.

Answer 2

Considere la posibilidad de $X=\mathbb R^2$ y $$A=([-2,0]\times[-2,0])\cup([0,2]\times[0,2])$$which is connected, while $\texto{int}(A)$ no está conectado.

Para ver esto consideremos la función continua $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ está definido por $f(x,y)=x+y$. Deje $U=f^{-1}(0,+\infty)$ que está abierto en $\mathbb R^2$ $U\cap\text{int}(A)$ está abierto en $\text{int}(A)$. También, desde la $(0,0)\notin\text{int}(A)$, así que para todos $(x,y)\in\text{int}(A)$, $f(x,y)\neq0$ y $U\cap\text{int}(A)=f^{-1}[0,+\infty)\cap\text{int}(A)$ es cerrado en $\text{int}(A)$. Además, $(1,1)=f^{-1}(2)\in U\cap\text{int}(A)$ muestra que $U\cap\text{int}(A)\neq\emptyset$ mientras $(-1,-1)\in\text{int}(A)$ $(-1,-1)\notin U$ muestra que $U\cap\text{int}(A)\neq\text{int}(A)$.