¿Es sólo para completar la comprensión de la cardinalidad de los conjuntos en general?
¿O hay algún uso particular de ese conocimiento aparte de otras abstracciones del concepto?
¡Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
bof
Puntos
19273
"Estudiar la cardinalidad de los conjuntos" significa "estudiar cuando hay o no hay una bijección, inyección o conjetura de un conjunto a otro" y es una forma útil de distinguir los conjuntos.
Una temprana ilustración de esto se debe a Georg Cantor, quien usó la cardinalidad para dar una prueba más simple de algo ya conocido, la existencia de números trascendentales. A saber, mostró que hay una suposición del conjunto $ \mathbb N$ de números naturales al conjunto $A$ de los números algebraicos, pero no hay ninguna conjetura de $ \mathbb N$ al set $ \mathbb R$ de todos los números reales; de donde se deduce que $A \ne\mathbb R,$ es decir, hay números reales que no son algebraicos.
DanV
Puntos
281
Si le dijera que todos los reales son Borel, ¿cómo lo probaría o refutaría?
Una vez que estudias los cardenales, aprendes que los conjuntos de Borel tienen $ \aleph_1 $ "niveles", cada nivel con $2^{ \aleph_0 }$ conjuntos; por lo tanto, hay exactamente $2^{ \aleph_0 }$ conjuntos de reales que son conjuntos de Borel. Siendo un hombre educado, conoces el teorema de Cantor y sabes que hay $2^{2^{ \aleph_0 }}$ conjuntos de reales. Así que definitivamente no todos los conjuntos de reales son conjuntos de Borel.
Bueno, ¿qué hay de los juegos medibles de Lebesgue? Tal vez no todos los conjuntos de reales son Borel; pero ¿todos los conjuntos que son Lebesgue son medibles Borel?
De nuevo, la respuesta es no, por un simple argumento de conteo: el conjunto Cantor es Borel, y nulo. Así que cada subconjunto del conjunto Cantor es Lebesgue medible. De nuevo, sólo hay $2^{ \aleph_0 }$ Juegos de Borel, pero hay $2^{2^{ \aleph_0 }}$ subconjuntos del conjunto de Cantor.
Puedes volver a hacer estos juegos con funciones que son continuas (o más bien cercanas a ser continuas, es decir, medibles por Borel). Te dice que en el gran esquema de los objetos matemáticos, los que nos interesan suelen ser "la excepción patológica" y no al revés.
Robin Saunders
Puntos
176
Para jugar al abogado del diablo: distinguir entre diferentes cardenales infinitos no es en algunos sentidos tan esencial como uno podría esperar, y en esos sentidos la pregunta está más que justificada. Me disculpo por adelantado ya que no soy experto en teoría de pruebas, pero intentaré dar la idea.
A modo de ejemplo, muchos resultados se afirman clásicamente y luego se prueban asumiendo algo como el axioma de la potencia, que dice que el conjunto de todos subconjuntos de un conjunto infinito deben existir, y entonces sabemos por el teorema de Cantor que este conjunto de subconjuntos debe tener una cardinalidad estrictamente mayor que el conjunto infinito original. Pero, de hecho, estos resultados pueden ser a menudo reafirmados y probados en una forma que no asume nada de eso y que, aunque estrictamente hablando es más débil, es de hecho adecuada para cualquier situación que nos pueda interesar.
El tipo de axioma más débil que podríamos usar en su lugar dirá que todos los subconjuntos de un tipo particular existen, y los subconjuntos de ese tipo resultarán ser equiparables al conjunto infinito original, por lo que las distinciones de cardinalidad no son realmente relevantes. Tales axiomas pertenecen a la restringida subsistemas de aritmética de segundo orden que en realidad sólo habla de conjuntos infinitos que son contables.
De hecho, incluso los muy fuertes cardenal grande Los axiomas de la teoría de conjuntos tienen versiones "en miniatura" mucho más débiles que simplemente afirman que un cierto ordinal contable "recursivamente grande". existe, y tales axiomas bastan para probar todas las consecuencias que probablemente le interesen a un no letrado.
Todo esto es muy valioso para cualquiera que quiera saber qué es necesario para probar un resultado dado: en otras palabras, ¿qué axiomas debemos usar para probar el resultado, y cuáles son simplemente exagerados? Este es el programa de matemática inversa y es especialmente relevante si albergas dudas de que los axiomas más fuertes sean incluso consistentes (y cuanto más fuertes sean tus axiomas, más motivos tienes para preocuparte por esto).
Zurahn
Puntos
4682
En primer lugar, creo que dar la distinción entre números "reales" y racionales como la razón o el punto de estudio de los cardenales, o incluso como un ejemplo es, bueno, cuestionable. La matemática universitaria pasa por alto los problemas que rodean la existencia de los números "reales", pero incluso si la cuestión de su existencia fue definitivamente respondida de una vez por todas, esto todavía no es un buen ejemplo.
La razón por la que esto no es un buen ejemplo es que las matemáticas no intentan responder a la pregunta del "por qué", es el trabajo de la filosofía responder a ese tipo de preguntas. Es decir, responder que estudiamos los cardinales de los conjuntos infinitos en beneficio de distinguir algunos conjuntos inmediatamente plantea la pregunta: ¿por qué necesitamos distinguir entre esos conjuntos?
Ahora, la cuestión del propósito es, en sí misma, cuestionable, pero ya que se preguntaba cuál es el propósito de algo, creo que es seguro asumir que cree que, al menos los objetos hechos por el hombre son conceptualmente capaces de tener un propósito.
No estoy seguro de que haya un solo propósito para este estudio, sin embargo un aspecto importante que puedo ver es que este estudio permitiría a los humanos conceptualizar sobre el continuo. Tenemos nociones intuitivas de lo que es el continuo: los objetos del macrocosmos a menudo parecen ocupar parches continuos de espacio, las manecillas de un reloj no se supone que salten sobre cualquier división en la cara del reloj, no importa cuán fina sea, etc. Pero estas ingenuas nociones de continuidad pueden llevarnos a paradojas, en las que no seríamos capaces de decidir el resultado que mejor refleje nuestra intuición, como por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox . El estudio de los cardinales de los conjuntos infinitos permite así resolver estas paradojas, o, al menos esperar a que algún día se pueda :)
marty cohen
Puntos
33863
Primero, decimos que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si hay una cartografía 1-1 entre sus elementos.
Entonces.., podemos mostrar que no hay una cartografía 1-1 entre un conjunto y el conjunto de todos sus subconjuntos (llamado su conjunto de energía). Esto significa que hay un número infinito de posibles cardinalidades, cada uno se las arregló sucesivamente tomando los juegos de poder.
En particular, ya que los números enteros son contables (por definición), el conjunto de todos los subconjuntos de los números enteros, que se puede demostrar que es equivalente a los reales, no es contable.
