$|A \cup B| = \mathfrak{c}$ , $A$ o $B$ tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$.

Question

$A$ $B$ son conjuntos. $|A \cup B| = \mathfrak{c}$, demuestran que, a $A$ o $B$ tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$.

Este es un ejercicio problema de mi libro de texto. Es fácil si asumo CH para ser verdad. Pero, ¿cómo puedo probar que esta sin ella? No sé cómo eliminar el caso de $A$ $B$ tanto tiene cardinalidad mayor que el de los números naturales y estrictamente menor que el de los reales.

Answer 1

Se ha sugerido en los comentarios que usted debe utilizar la teoría de conjuntos ordenados o el lema de Zorn. Aquí, en cambio, es una prueba simple de usar el axioma de elección directa.

Supongo que usted está familiarizado con el Cantor-Bernstein teorema. Debido a eso, es suficiente para demostrar que $|A|\ge\mathfrak c$ o $|B|\ge\mathfrak c.$ I también asumir que usted sabe que $|\mathbb R\times\mathbb R|=|\mathbb R|=\mathfrak c$; por lo tanto podemos suponer que la $A\cup B=\mathbb R\times\mathbb R.$

Caso 1. Si $A$ es disjunta de alguna línea horizontal en el plano de $\mathbb R\times\mathbb R,$ then $B$ contains a horizontal line, and so $|B|\ge\mathfrak c.$

Caso 2. Si $A\cap L\ne\emptyset$ por cada línea horizontal $L,$, luego por el axioma de elección, existe un conjunto $S\subseteq A$ tal que $|S\cap L|=1$ por cada línea horizontal $L.$ Clara $|S|=\mathfrak c$ $|A|\ge\mathfrak c.$

P. S. Este argumento muestra que, si $a\lt c$ $b\lt c,$ $a+b\lt c\cdot c.$ Este es un caso especial de Kőnig del teorema: si $a_i\lt b_i$ por cada $i,$ $\sum_i a_i\lt\prod_i b_i.$