Hay una noción topológica de la derivada?

Question

Mi topología libro dice que "Una función de $f:U \to \mathbb{R}^m$ a partir de un conjunto abierto $U$ $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ es suave, siempre que $f$ tiene derivadas parciales continuas de todos los pedidos. Una función de $f:A \to \mathbb{R}^m$ a partir de un subconjunto arbitrario $A$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^m$es suave, siempre que para cada una de las $x$ $A$ no es un conjunto abierto $U$ contiene $x$ y una función suave $F:U \to \mathbb{R}^m$ tal que $F$ está de acuerdo con $f$$U \cap A$."

Realmente solo deja las cosas en que, asumiendo el conocimiento de cálculo, incluyendo las derivadas parciales (que tengo). Lo que me interesa es...

Hay una noción topológica de la derivada? Si no existe, hay una generalización de la derivada diseñado para permitir que la idea de hacer un sentido puramente topológico contexto?

Nunca he visto ninguna referencia a tal idea. Hay un topológica de la noción de límite (ver aquí), pero puede ser usado para definir un topológica de la definición de la derivada?

Answer 1

No puede ser puramente topológica de la definición de deriviative, porque ni es la noción de la diferenciabilidad conservan bajo homeomorphisms, ni (en los casos en que pasa a ser en conserva) el derivado de la transformación de bien bajo homeomorphisms (por ejemplo, la derivada puede ser distinto de cero antes, y cero después de la aplicación de un homeomorphism). Topología General simplemente no se ocupa de las nociones de diferenciación; usted necesita una diferente categoría de espacios topológicos para que (por ejemplo la de diferenciables colectores).

Answer 2

No estoy seguro de si contar esto como topológica $X$, y debo admitir que esto podría ser innecesariamente "intelectual", pero si el espacio topológico es un local rodeado de espacio (que no es mala, simplemente piensa conectar un anillo para cada conjunto abierto en cierta manera coherente y cuando "zoom" en un punto de $x$ usted obtiene un anillo local $O_{X,x}$ - un anillo con sólo un ideal maximal. Creo colectores o espacio Euclidiano con anillos de continuo $\mathbb{R}$valores de las funciones en cada punto), entonces se puede definir la (co)el espacio de la tangente en $x$ como el espacio vectorial $m_x/m_x^2$ sobre la base de campo de $O_{X,x}/m_x$ donde $m_x$ es el único ideal maximal de a $O_{X,x}$.

La motivación de (el puramente algebraica proceso de) quotienting a cabo por la 2ª poder de los ideales es exactamente la captura de la intuición de un derivado que usted desea alinear todo a la vista. Esto es lo que se hace en geometría algebraica, donde la idea intuitiva de suavidad es más complicado y, a veces ausente, pero usted todavía desea de alguna manera que tienen ellos de todos modos.

Espero que, al menos divertido!

Answer 3

Lo siento .Mi última respuesta no fue transferido correctamente .¿Cómo puedo enviar los símbolos matemáticos? Sin embargo, yo voy a enviar de nuevo. Me hicieron una pregunta similar en www.artofproblemsolving.com con el nombre del tema topológico derivación definición. Pero no he recibido ninguna respuesta. Me gustaría explicar más acerca de esta Idea. De hecho, parece que la derivada e integral son conceptos que son independientes del sistema de coordenadas y tal vez incluso independiente de la función de concepto. Una vista geométrico de la derivada es la tangente. Una recta tangente a una curva en un punto es una línea que está muy cerca a la curva cerca de puntos .Esta cercanía puede ser interpretado por topológico de herramientas. Por otro lado, la integral de una función ∫abf(x)dx aparentemente depende del sistema de coordenadas, pero por más inspección vemos que el sistema de coordenadas es sólo el límite de la integración .

Vamos a denotar a una curva en un plano por el conjunto de cl(E) –E que E es abierto y es el mayor ajuste posible en este sentido. La siguiente definición puede ser sugerido para el derivado de: C= cl(E)-E , E es el mayor ajuste posible. C es la curva. cl(NWEWV) -(NWEWV) = [cl(N)W(cl(V)-V)] [cl(V), W(cl(N)-N)] =( cl(N)W(cl(V))-( VWN) E,V y N son abiertos .VT (una familia de abiertos de conjuntos) El punto importante en este camino es la selección del tipo de V. Si V los espacios abiertos entre los dos cruzaron la línea de llegar a ordinarios derivados, pero podemos seleccionar otro de los conjuntos. H= Vi (en todas las soluciones de la ecuación de arriba)  S1, S2 / cl(V)-V= S1 S2 , S1WS2 ={x} x N D= cl(H)-H , H es el mayor ajuste posible. D es la derivada. Pero la definición anterior es inútil y no puede ser utilizado para la combinación de la función que es muy importante.