Un punto que me falta en tanto la pregunta y las otras respuestas es el contexto adecuado: esto es una prueba por inducción. Esto significa que se asume la desigualdad de la $n$, que luego cambió de nombre $r$, de modo que ahora podemos centrar en demostrar el mismo resultado para $r+1$ (a la que nos podemos llamar a nuestro nuevo $n$). Por lo tanto, antes y después del paso 1. estamos tratando con las desigualdades que son conocidos para celebrar, y podemos combinarlos con otras desigualdades, como las $rp^2\geq0$ en la forma habitual, como se ha explicado en otras respuestas.
Sin embargo, si esto ha sido un no-inducción de la prueba, a continuación, $(1+p)^n \geq 1 + np$ acaba de ser nuestra meta, y soltando términos positivos desde el lado derecho sería, de hecho, ilegal, ya que esto debilita la meta (que acabaría resultando menos de lo reclamado). Por cierto, la multiplicación por el factor positivo $(1+p)$ en el paso 1. todavía estaría justificado (como $a\geq b$ si y sólo si $ra\geq rb$ al $r>0$), pero por la razón contraria: en la inducción de la prueba que estamos diciendo "asumimos $(1+p)^r \geq 1 + rp$ y esto implica $(1+p)^{r+1} \geq 1 + rp+p+rp^2$", mientras que en un no-inducción de la prueba nos podría válidamente argumentar "necesitamos demostrar $(1+p)^r \geq 1 + rp$, y esto va a seguir de $(1+p)^{r+1} \geq 1 + rp+p+rp^2$" (, pero luego nos quedaría atrapado, y en particular cayendo $rp^2$ sería rechazado).
Por cierto, el libro está muy equivocado al decir que el abandono de $rp^2$ fortalece la desigualdad, lo que realmente debilita, como he dicho anteriormente. Pero lo que el autor probablemente quería decir es que al quitar el término sólo hace que la desigualdad (fácilmente) verdadero, con una mayor distancia entre los dos miembros.
