Siempre he luchado con la convención de que si $f:X \rightarrow Y$ y $g:Y \rightarrow Z$ entonces $g \circ f : X \rightarrow Z$ . Reflejar constantemente de un lado a otro es ineficiente. ¿Alguien conoce un texto de teoría de categorías que defina la composición de la otra manera? De modo que $f \circ g$ significa lo que normalmente entendemos por $g \circ f$ .
Respuestas
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Recuerdo que los siguientes libros de texto sobre teoría de categorías tienen composiciones escritas de izquierda a derecha.
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Freyd, Scedrov: "Categorías, Alegorías", North-Holland Publishing Co., 1990 .
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Manes: "Algebraic Theories", GTM 26, Springer-Verlag, 1976.
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Higgins: "Notes on Categories and Groupoids", Van Nostrand, 1971 (disponible como Reedición del TAC nº 7 ).
Otros ejemplos aparecen en la teoría de grupos y en la teoría de anillos, por ejemplo
- Lambek: "Lectures on rings and modules", Chelsea Publishing Co., 1976 (2ed).
o varios libros de P.M. Cohn.
Pero para evitar confusiones, los autores no suelen utilizar el símbolo $\circ$ por esto. En particular, cuando (como en el caso de los anillos no conmutativos) es útil tener ambas lecturas disponibles (para que los homomorfismos de módulo y escalares actúan en lados opuestos). Por ejemplo, hasta donde recuerdo que yo recuerde, Lambek utiliza $\ast$ en su lugar.
Haaakon
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Existe, por ejemplo, el documento " Acciones de grupo en Posets " de Babson y Kozlov donde la composición de morfismos se define "invertida". Otro enfoque que puede ser interesante para usted es invertir todos los diagramas (véase, por ejemplo, " Un enfoque de categoría superior para las acciones retorcidas en $C^*$ -Algebras "de Buss, Meyer y Zhu). Yo, por mi parte, tiendo a utilizar $f\bullet g := g\circ f$ para evitar cualquier confusión.
Greg
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Si puedo hacer un comentario personal: Yo luché con el mismo problema, y de hecho encontré un texto que hacía la composición de izquierda a derecha (lo siento, olvidé el nombre), pero llegué a apreciar que no tiene mucho sentido hablar un idioma que casi nadie habla.
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Para definir $f \circ g$ hacia atrás sería una locura y causaría confusión (ya que el camino hacia adelante está bien establecido). Algunos textos definen $(f\,;g)$ como la composición hacia atrás, pero ahora mismo no recuerdo ninguna que la utilice con frecuencia.
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@MichaelGreinecker Sí, eso es cierto. Pero tal y como yo lo veo, se pueden aprender las cosas de forma sencilla, aunque en una publicación haya que ajustarse a ciertas normas que no son tan sencillas.
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A continuación se presentan algunas notas de clase aproximadas utilizando la notación "postfija": ii.uib.no/~wolter/enseñanza/v11-inf223/manuscrito.pdf
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Herstein (a quien conocí hace tiempo, ¡un tipo muy agradable!) tenía un programa en algún momento para escribir $f(x)$ como $(x)f$ para evitar este problema... pero era demasiado tarde. En cierto modo, nuestro apuro puede ser productivo, en la medida en que nos vemos obligados, para la comprensión, a mirar más allá de la (desafortunada) notación para ver el significado. Otra cuestión es que diagramas (la condición sine qua non de las modalidades "categóricas") evitan la torpeza de la notación mediante la demostración física de la composición de los mapas, etc. Esto plantea el siguiente cuestión, en efecto, de nuestra dependencia (colectiva) del "orden temporal". :)
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Empecé a leer el operador de composición como "después" y me ha ayudado mucho. Se lee $g\circ f$ como $g$ después de $f$ y entonces siempre se sabe cuál es el primero.
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Puede que tengas algo de suerte si centras tu atención en la década de los sesenta o por ahí. El orden de izquierda a derecha parecía estar más de moda en esa época; por ejemplo, casi la mitad de los periódicos de la década de 1966/67 Seminario sobre triples y teoría de la homología categórica se escribieron con esa convención.
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Mi opinión personal es que si esto te parece una razón suficiente para buscar un nuevo texto de teoría de las categorías, entonces la teoría de las categorías realmente no es para ti.
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Casi siempre escribimos una función como $f(x)$ no $(x)f$ por ejemplo $sin (x)$ . Así que escribir una composición como $(f\circ g)(x) = f(g(x))$ es natural. Dado que la categoría de conjuntos es una categoría típica, la $f\circ g$ también es natural OMI.
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Es difícil juzgar qué orden de escritura de la composición es más natural. Hay áreas como la teoría de grupos o la teoría de categorías en las que la composición de (mucho más que dos) mapas se utiliza más a menudo que la mera aplicación y, por ejemplo $x^{fg} = (x^f)^g$ o $x(fg) = (xf)g$ parece bastante natural, al menos en los idiomas en los que se lee de izquierda a derecha. Para una opinión más precisa, véase iti.cs.tu-bs.de/TI-INFO/koslowj/RESEARCH/RPN .
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@goblinGONE Totalmente de acuerdo. Además fíjate que lo que yo llamo el problema "m/n" desaparece si escribes la composición de la manera correcta. Es decir, una $m \times n$ La matriz toma $n$ -espacio para $m$ -espacio, por lo que se invierte. Si la multiplicación de matrices se escribiera $xM$ en lugar de $Mx$ esto desaparecería. El problema de "m/n" lleva a horrores como que los geómetras diferenciales escriban "Dejemos $M^n \to N^m$ sea un mapa de variedades suaves..." porque quieren que la derivada sea $m \times n$ .
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@goblinGONE También hay que tener en cuenta el extraño retroceso en la definición de una acción de grupo de izquierda es por esto... "actuar por $m$ , entonces por $n$ es lo mismo que actuar por $nm$ ". Es como si no pudiéramos decidir en qué orden queremos escribir las cosas.
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@goblinGONE Un último argumento heurístico a favor de postfix: Cuando lees una receta, ¿qué quieres saber primero, los ingredientes o qué hacer con ellos? Esto implica que deberíamos escribir $(x)f$ en lugar de $f(x)$ Y sí, en un mundo perfecto debería ser así. Y deberíamos usar vectores fila en lugar de vectores columna y escribir la multiplicación de matrices como $xM$ . Malditas dependencias históricas de la trayectoria