Ecuación diofantina $x^3+x+y^3+y = z^3 + z$ para $x,y,z>0$

Question

Consideremos la ecuación diofantina $x^3+x+y^3+y = z^3 + z$ para un número entero positivo $x,y,z$ .

Probé con valores pequeños y obtuve algunos casi iguales : $(5,6,7)$ y $(12,16,18)$ son verdaderos hasta el valor $2$ . $( 5^3 + 5 + 6^3 + 6 = 7^3 + 7 + 2 )$ .

$(6,8,9)$ es verdadera hasta el valor $4$ . Y parece que hay infinidad de cuasi-errores que tienen un valor de $80$ o $12$ o un poder de $2$ .

Ya traté de encontrar una contradicción mod $30$ y mod $7$ pero no encontró ninguno.

Me he dado cuenta de que $x^3 + x$ puede ser libre de cuadrados y no puedo encontrar un descenso infinito.

¿El polinomio ( $x^3+x+y^3+y -(z^3 + z)$ ) ¿factor de la misma? Es irreducible en $Z$ sin embargo.

Debo señalar que puedo resolver el aspecto similar $x^3 -x + y^3 -y = z^3 - z$ sobre los enteros que también es irreducible sobre $Z$ . (por ejemplo, dejando que $z = u+v$ y $x = u - v$ reduciendo un subconjunto de soluciones a una ecuación de Pell )

Quizás estoy cerca. Me gustaría resolver esta Diofantina sin usar p-adic.

Y también me pregunto sobre $x^3 + x + y^3 + y - z^3 - z = (12,80,2^n)$ y $x^5 + x + y^5 + y = z^5 + z$ para $x,y,z>0$ .

Answer 1

Algunas soluciones de "fuerza bruta" de $\ x^3 + x + y^3 + y - z^3 - z = r$
(con contribuciones adicionales de Oleg567)

Para $\ r=0\ $ (y $z<10^5$ ) : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 36& 37& 46\\ 98& 248& 253\\ 165& 705& 708\\ 320& 377& 442\\ 843& 1078& 1228\\ 2372& 3323& 3685\\ 2988& 3070& 3817\\ 6963& 8320 & 9703 \\ 8997 & 20636 & 21191 \\ 24338 & 27272 & 32617 \\ 28783 & 29763 & 36892 \\ 39697 & 50635 & 57728 \\ 41488 & 66006 & 71071 \\ 55682 & 74983 & 84072 \\ \end{array}

(para soluciones generales, véase $16$ . de parte 11 de Tito Piezas III Colección de identidades algebraicas )

Para $\ r=12$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 1& 2& 0\\ 72& 141& 147\\ \end{array}

Para $\ r=80$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 11& 20& 21\\ 18& 30 &32 \\ 216& 644& 652\\ 704& 781& 938\\ \end{array}

Para $\ r=2^0\ $ no se ha encontrado ninguno ( $\max(x,y)<10^4$ ).

Para $\ r=2^1$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 1& u& u\\ 5& 6& 7\\ 12& 16& 18\\ 101& 218& 225\\ 215& 377& 399\\ \end{array}

Para $\ r=2^2$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 1& 1& 0\\ 6& 8& 9\\ \end{array}

Para $\ r=2^3$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 9& 10& 12\\ 17& 40& 41\\ 92& 509& 510\\ 568& 1104& 1152\\ 2177& 2599& 3032\\ \end{array}

Para $\ r=2^4$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 9& 15& 16\\ 130& 199& 216\\ 214& 274& 312\\ \end{array}

Para $\ r=2^5$ : \begin{array} {cc|c} x&y&z\\ \hline 1573& 2897& 3044\\ 4857& 7281& 7940\\ \end{array}

---

No he encontrado ninguna solución para $\ x^5 + x + y^5 + y = z^5 + z$
(en el rango reducido comprobado $\max(x,y)<10^4$ ).

Este tipo de ecuaciones fueron muy estudiadas a principios del siglo XX. Los famosos libros de Dickson "History Of The Theory Of Numbers" pueden consultarse en línea (y descargarse) en archivo.org . Tal vez que los métodos propuestos en estas páginas podría inspirarte... o Tito Piezas III ya que aparece de vez en cuando aquí o en MO .