El Teorema Kato-Rellich es un resultado clásico que establece que si $A, B$ son operadores no acotados en un espacio de Hilbert con $A$ autoadjunto, $B$ simétrico, $\mathcal D (A)\subset \mathcal D(B)$ y $$ \|Bx\|\leq a\|A x\|+b\|x\|,\;\;x\in\mathcal D(A) $$ para constantes positivas $a,b$, con $a<1$, entonces $A+B$ es autoadjunto en el dominio de $A$. El ínfimo de aquellos $a$ para los cuales se cumple la desigualdad anterior se llama el límite relativo de $B$. Así, $A+B$ es autoadjunto si $B$ es relativamente acotado con límite $a<1$.
Me interesan los ejemplos en los que $A+B$ no es esencialmente autoadjunto a pesar de que $A$ es autoadjunto, $B$ es simétrico y $\mathcal D(A)\subset\mathcal D(B)$.
He intentado considerar operadores de multiplicación sin éxito. Sea $M_\phi$ el operador de multiplicación $$ M_\phi h=\phi h,\;\;\mathcal D(M_{\phi})=\{ h|\phi h\in L_2\}, $$ y sea $A=M_f$, $B=M_g$ con $f,g$ funciones reales, finitas casi en todas partes. Dado que $A$ y $B$ son cerrados, la suposición $\mathcal D(A)\subset\mathcal D(B)$ implica el límite $$ \|B h\|\leq C(\|A h\| +\|h\|) $$ para algún $C>0$. Pero entonces, para $h$ distinto de cero solo en el conjunto $\{x||f(x)|\leq M\}$, se obtiene $$ \|B h\|\leq C(1+M)\|h\|, $$ lo que implica que $|g(x)|\leq C(1+M)$ casi en todas partes en $\{x||f(x)|\leq M\}$. Esto a su vez implica que $|f(x)+g(x)|\leq (M+ CM + C)$ en ese mismo conjunto. Pero entonces $\mathcal D(A)$ es un núcleo para $\mathcal D(M_{f+g})$, lo que implica que $A+B$ es esencialmente autoadjunto.
Después vinieron los operadores de Schrödinger. 'Desafortunadamente', el Teorema XIII.96 en Métodos de Física Matemática Moderna vol 4 de Reed y Simon implica que (en $\mathbb R^d$, con $d\leq 3$) la inclusión $\mathcal D(-\Delta)\subset\mathcal D(V)$ es suficiente para concluir que $V$ es relativamente acotado por $(-\Delta)$ con límite $0$.
