Probar este limita con $\sin{(\tan{x})}-\tan{(\sin{x})}$

Question

Cómo Encontrar el límite de $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{(\bronceado{(\sin{(\bronceado{x})})})}-\bronceado{(\sin{(\bronceado{(\sin{x})})})}} {\sin{(\bronceado{x})}-\bronceado{(\sin{x})}}$$

Mi planteamiento es el siguiente: yo uso wolframalpha encontrado esta límites es $2$

Answer 1

Para este tipo de problemas, el desarrollo en serie de Taylor son muy útiles. Acaba de empezar desde la serie de la mayoría de los términos interiores, en cascada (reemplazando y simplificando) y ser paciente !$$\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+O\left(x^9\right)$$ $$\sin(\tan(x))=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}-\frac{55 x^7}{1008}+O\left(x^9\right)$$ $$\tan(\sin(\tan(x)))=x+\frac{x^3}{2}+\frac{11 x^5}{40}+\frac{571 x^7}{5040}+O\left(x^9\right)$$ $$\sin(\tan(\sin(\tan(x))))=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{30}-\frac{9 x^7}{70}+O\left(x^9\right)$$ Similarly $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+O\left(x^9\right)$$ $$\tan(\sin(x))=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}-\frac{107 x^7}{5040}+O\left(x^9\right)$$ $$\sin(\tan(\sin(x)))=x-\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{63}+O\left(x^9\right)$$ $$\tan(\sin(\tan(\sin(x))))=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{30}-\frac{13 x^7}{210}+O\left(x^9\right)$$ So the numerator is $$\sin(\tan(\sin(\tan(x))))-\tan(\sin(\tan(\sin(x))))=-\frac{x^7}{15}+O\left(x^9\right)$$ and the denominator is $$\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))=-\frac{x^7}{30}+O\left(x^9\right)$$ from which $$\lim_{x\0}\dfrac{\sin{(\bronceado{(\sin{(\bronceado{x})})})}-\bronceado{(\sin{(\bronceado{(\sin{x})})})}} {\sin{(\bronceado{x})}-\bronceado{(\sin{x})}}=2$$ Ser mucho más paciente y el uso de un plazo adicional para las expansiones, se puede mostrar que $$\dfrac{\sin{(\bronceado{(\sin{(\bronceado{x})})})}-\bronceado{(\sin{(\bronceado{(\sin{x})})})}} {\sin{(\bronceado{x})}-\bronceado{(\sin{x})}}=2+\frac{5 x^2}{3}+O\left(x^3\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla.

Editar

Se me olvidó precisar que es una buena parctice para comenzar a investigar el término más simple; aquí, es el denominador. Su expansión se dice, básicamente, el grado de lo que debe hacer con el numerador.

Dado que el mecanismo está en su lugar, usted puede mostrar para el siguiente nivel $$\frac{\sin (\tan (\sin (\tan (\sin (\tan (x))))))-\tan (\sin (\tan (\sin (\tan (\pecado (x))))))}{\sin (\tan (\sin (\tan (x))))-\tan (\sin (\tan (\sin (x))))}=\frac{3}{2}+\frac{5 x^2}{4}+O\left(x^3\right)$$

Añadió más tarde

Si definimos $S(x)=\sin(\tan(x))$$T(x)=\tan(\sin(x))$, la expresión dada en el post es $$A_1=\frac{S(S(x))-T(T(x))}{S(x)-T(x)}$$ and the last given is $$A_2=\frac{S(S(S(x)))-T(T(T(x)))}{S(S(x))-T(T(x))}$$ What is interesting is that the asymptotic development of $A_n$ is simply given by $$A_n=\frac{n+1}{n}\big(1+\frac 56 x^2\big)$$ Increíble, ¿no ?