Si $x^2 +px +1$ es un factor de $ ax^3 +bx+c$ a continuación se relacionan $a,b,c$

Question

Supongo que Si $x^2 +px +1$ es un factor de $ax^3 +bx+c$ a continuación se relacionan $a,b,c$ tal que $a,b,c \in R$

Puedo escribir $$ax^3 +bx+c=(x^2 +px +1)(\lambda x +D)$$ $$\implies ax^3 +bx+c =\lambda x^3 + x^2.p\lambda + x(\lambda+pD)+D $$ y, a continuación, comparar el coeficiente de averiguar la relación, pero que va a ser largo y tedioso proceso , quiero más breve aproximación a este problema . Por cierto me fue dado siguientes opciones para esta pregunta

A) $a^2+c^2+ab=0$

B) $a^2-c^2+ab=0$

C) $a^2-c^2-ab=0$

D) $ap^2+bp+c=0$

Tal vez podemos relacionar algo mirando en las opciones?

Answer 1

Observar que el producto de dos raíces de la ecuación cuadrática es $1$. Así que la tercera raíz tiene que ser $\frac{-c}{a}$. Ahora sustituye esta raíz en lugar de $x$ en el cúbicos.

Answer 2

Usted debe tener $(x^2+px+1)(\lambda x + D) = \lambda x^3 + (p\lambda + D) x^2 + (pD + \lambda) x + D$. por lo tanto $D = c$$\lambda = a$, y usted necesita $p \lambda + D = ap + c = 0$ $pD + \lambda = cp + a = b$ . La eliminación de $p$ a partir de estos dos le da $0 = c (ap + c) - a(cp + a - b) = \ldots$.

Answer 3

Siguiendo el camino que han tomado, y corregir el álgebra, uno se

$$(\lambda X+D)(X^2+pX+1)=\lambda X^3+(\lambda p+D)X^2+(Dp+\lambda)X+D$$

Y esto es válido para todos los $X$. Así, mediante la identificación de los coeficientes obtenemos

$$\begin{cases} \lambda=a\\ \lambda p+D=0\\ Dp+\lambda=b\\ D=c \end{cases}$$

el que lee

$$\begin{cases} a p+c=0\\ cp+a=b\end{cases}$$

y esto conduce a la

$$-\frac{c^2}{a}+a=b$$

$$a^2-c^2-ab=0$$