Partición de un rectángulo en rectángulos más pequeños, con sus diagonales formando un bucle

Question

El Grande y el Pequeño Reino son ambas de planta rectangular islas y se divide en rectangular paisaje. En cada provincia hay una carretera que discurre a lo largo de una de las diagonales. En cada isla existen carreteras que hacer una ruta cerrada, que no pasa a través de cualquier punto varias veces. La imagen muestra el Pequeño Reino, que tiene seis área:

El Gran Reino tiene un número impar de paisajes. Cuántos paisajes hace el Gran Reino tiene al menos?

Answer 1

Si uno requiere de la ruta de ir a través de todas las provincias, a continuación, $9$ es suficiente (como se muestra en el diagrama de abajo).

$\hspace1in$

Actualización

De hecho, $9$ es el menor número impar que hace el trabajo. Los argumentos básicos como esto:

1. Considere la posibilidad de la "cuatro" rectángulos que cubren las cuatro esquinas del reino. Deben ser distintos unos de otros. De lo contrario, no será un rectángulo que cubra el borde de reino. Independiente de que la diagonal de un pick, uno de los extremos de la diagonal estará en una posición imposible extender.

2. Sobre cada borde, no pueden ser rectángulos entre la esquina rectángulos. por ejemplo, en el borde izquierdo del diagrama anterior, hay dos rectángulos (magenta y verde) entre el rectángulo rojo en la parte superior y de color verde oliva rectángulo en la parte inferior. La clave está en el orden de la ruta a ser posible ampliar el número de este tipo de llenado rectángulos en cada borde necesidad de ser.

3. Esto significa que el número total de rectángulos en los bordes $N$ es un número $\ge 4$.

4. $N$ no puede ser $4$, de lo Contrario, las cuatro esquinas rectángulos están uno al lado del otro. Sólo hay una manera de escoger las diagonales, pero que va a llevar a cerrada la ruta que uno no puede agregar más de las diagonales.

5. Después, consideremos el caso de $N = 6$ y mirar las diagonales de magenta y verde rectángulos en el diagrama de arriba en busca de inspiración. Uno se dará cuenta de que no importa cómo un lugar de la $6$ rectángulos en el borde, sólo hay una forma legal para recoger los $6$ de las diagonales. Después de escoger las diagonales, los dos colgantes son los extremos, ya sea tumbado en horizontal o vertical de la línea. Esto significa que necesitamos, al menos, $3$ más aristas (i.e 9 bordes) para la construcción de una ruta cerrada de longitud impar.

6. Por último, si $N \ge 8$, necesitamos al menos un filo más para la construcción de una ruta cerrada de longitud impar. Una vez más, esto significa que tenemos, al menos, $9$ bordes para hacer el trabajo.

Combinar $5.$ $6.$ y el diagrama anterior, podemos concluir $9$ es el menor número impar que uno puede construir una ruta cerrada de longitud impar.

Answer 2

Aquí una solución con $5$ regiones :