¿Qué restricciones topológicas existen para que un espacio topológico a ser un grupo?

Question

Estoy tratando de proporcionar una estructura de grupo para algunas superficies de Riemann. He oído que el resultado siguiente se tiene:

Deje $X$ ser una compacta superficie de Riemann. A continuación, $X$ admite una estructura de grupo si, y sólo si tiene género $1$.

Answer 1

He aquí una prueba para el resultado que siempre (incluso si usted necesita más fuertes supuestos):

Reclamo: Si un cerrado $2$-dimensiones suave colector admite una estructura de grupo de Lie, entonces es orientable y tiene género $g=1$ (es decir, el 'toro'$T^2$).

Prueba: Si $G$ es una Mentira grupo con $\dim G=n$,$TG\cong G\times\mathbb{R}^n$, ya que se puede usar la acción de la estructura del grupo por la izquierda de la multiplicación para mover alrededor de una base de definir en un punto. Obviamente, esto implica que debe ser orientable, considerando una orientación global en $TG$ inducida por la elección de la base sobre la $\mathbb{R}^n$. Al mismo tiempo, ella implica que usted ha $n$ nunca fuga campos vectoriales definición de una base en cada punto (correspondiente a la norma base $\partial_i$$G\times\mathbb{R}^n$). Por lo tanto la de Poincaré-Hopf teorema implica que $\chi(G)=0$. En particular, si $G$ es como se supone en la demanda, debemos tener $g=1$, por la fórmula $$\chi(G)=2(g-1)\stackrel{!}{=}0$$

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También contamos con un parcial contrario a este resultado:

Reclamo: Si un cerrado, orientable $2$-dimensiones suave colector $M$ género $g=1$, entonces se admite que la estructura de un grupo topológico.

Prueba: Por la clasificación de superficies cerradas, $M$ es homeomórficos al toro a través de algunos homeomorphism $$h:M\to T^2$$ Definimos una multiplicación $*$ $M$ por $$x*y=h^{-1}(h(x)\cdot h(y))$$ donde $\cdot$ denota el producto en $T^2$. Esto hace que $M$ en un grupo topológico.

Answer 2

Un grupo topológico es (tautologically) un H-espacio y hay varios topológico obstrucciones conocido por un espacio para ser un H-espacio. Por ejemplo, el grupo fundamental debe ser abelian. O cuando una n-esfera es un H-espacio, entonces hay n independiente de campos vectoriales, que por Adams es posible sólo para n=1,3,7.

(La única condición excludey superficies de género, al menos 2, el otro compacto superficies de género 0, por lo que sólo género 1 sigue.)