Funciones continuas que satisfacen $f(x) + f(1-x) + f(\sqrt{x^2+(1-x)}) = 0$ y $f(\frac12)=0$

Question

$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua que satisface $$ f(x) + f(1-x) + f\left(\sqrt{x^2+(1-x)}\right) = 0 \text{ and } f\left(\tfrac12\right)=0. $$

¿Puede alguien dar ejemplos explícitos de $f$ , aparte de la solución trivial, $f(x)=0$ ? ¿Y hay infinitas soluciones para $f$ ?

Puedo derivar algunas propiedades como $f(\frac{\sqrt3}2)=0$ o $f(0)=-2f(1)$ pero no puedo generar ejemplos concretos. La continuidad parece importante aquí, pero no veo cómo utilizarla, ya que si tomamos $f(x)=0$ , para $x\in (0,1)$ y $f(1)=1$ , $f(0)=-2$ también funciona.

Answer 1

En primer lugar, observe que $\sqrt{x^2+1-x}\geq\sqrt{3}/2$ para todos $x\in[0,1]$ . Sea $g:[1/2,\sqrt{3}/2]\to\mathbb R$ sea una función continua arbitraria tal que $g(1/2)=g(\sqrt{3}/2)=0$ . Entonces, defina $f:[0,1]\to\mathbb R$ de la siguiente manera: \begin{align*} f(x)=\begin{cases} 0&\text{if $x\in[0,1-\sqrt{3}/2]$,}\\ -g(1-x)&\text{if $x\in(1-\sqrt{3}/2,1/2]$,}\\ g(x)&\text{if $x\in(1/2,\sqrt{3}/{2}]$,}\\ 0&\text{if $x\in(\sqrt{3}/2,1]$.} \end{cases} \end{align*}

Por ejemplo:

Answer 2

Este es el conjunto de todos los posibles $f$ . El álgebra se vuelve un poco asquerosa, así que tened paciencia.

En primer lugar, dejemos que $f_1: \left[1 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right] \to \mathbb{R}$ sea una función continua arbitraria tal que $f_1(x) = 0$ en el intervalo cerrado $\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$ , y $f_1(\tfrac12) = 0$ , y finalmente, $f_1(\tfrac{\sqrt{3}}{2}) + f_1(\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ .

En segundo lugar, definir $f_2 : \left[1 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right] \to \mathbb{R}$ por $$ f_2(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{if } 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - f_1\left( \frac{1 - \sqrt{4x^2 - 3}}{2} \right) - f_1\left( \frac{1 + \sqrt{4x^2 - 3}}{2} \right) & \text{if } \frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ f_1(x) & \text{if } \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le 1 \\ \end{cases} $$ Verifique que $f_2$ es continua y satisface $f_2(x) + f_2(1-x) + f_2(\sqrt{x^2 - x + 1}) = 0$ en su dominio. Esto es un poco asqueroso, así que me salto los detalles por ahora.

Por último, defina $$ f_3(x) = \begin{cases} -f_2(1 - x) - f_2(\sqrt{x^2 - x + 1}) &\text{if } 0 \le x \le 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ f_2(x) &\text{if } 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le 1 \\ \end{cases} $$ Verifique que $f_3$ es continua y satisface $f_2(x) + f_2(1-x) + f_2(\sqrt{x^2 - x + 1}) = 0$ en su dominio. Esto no es demasiado difícil dado que ya lo mostramos para $f_2$ .

Ahora sólo hay que poner $f = f_3$ .

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El resultado final es una función $f$ tal que $f_1 = f$ en $\left[1 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$ y $\left[ \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right]$ , y $f$ satisface la propiedad deseada. Por lo tanto, podemos elegir $f$ como queramos en $\left[1 - \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$ y $\left[ \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} , 1 \right]$ , y luego $f$ se decide por nosotros en todos los demás lugares.