Diferencia entre Pendiente y Gradiente

Question

Han pasado algunos años desde que estudié mapas de contorno.

A menudo escucho que pendiente y gradiente se utilizan indistintamente para describir la inclinación.

¿Alguien conoce buenas definiciones y analogías de pendiente y gradiente?

Gracias,

Amanda

Answer 1

Mejor respuesta - Elegida por votantes

Un gradiente es un vector, y la pendiente es un escalar. Los gradientes son realmente significativos en funciones multivariables, donde el gradiente es un vector de derivadas parciales. Con funciones de una sola variable, el gradiente es un vector unidimensional con la pendiente como su única coordenada (por lo tanto, no muy diferente a la pendiente en absoluto).

Fuente(s):
Actualmente estudiando cálculo multivariable

Answer 2

Los mapas de contorno grafican las curvas de nivel de una función dada $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Una parametrización $(x(t),y(t))$ de la curva de nivel $f(x,y)=k$ satisface $f(x(t),y(t))=k$. Diferenciando con respecto a $t$ obtenemos lo siguiente mediante la regla de la cadena, $$ \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0 $$ Por lo tanto, el gradiente $\nabla f = \langle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \rangle$ es perpendicular al vector tangente $\langle x',y'\rangle$ de la curva cuando los comparamos en un punto particular.

Comparar la pendiente con $\nabla f$ directamente es cuestionable desde el punto de vista geométrico ya que $y=f(x)$ es un gráfico mientras que el contexto natural para el gradiente está en el estudio de las curvas de nivel. Para un gráfico $z = f(x,y)$ el plano tangente tiene normal $\pm \langle \partial_x f,\partial_y f,-1 \rangle$. El análogo natural a la normal del plano tangente sería la pendiente o incluso el vector dirección de la línea normal $y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$.

Eslogans:

1.) el gradiente apunta en la dirección para que avances de nivel

2.) la derivada es la pendiente de la recta tangente

Para realmente comprender, debes separar los conceptos del gráfico de una función y las curvas de nivel. Estos están relacionados pero no son el mismo objeto.

Answer 3

¡A menudo escucho pendiente y gradiente utilizados indistintamente para describir la inclinación!

Esto se debe a que el gradiente y la pendiente pueden significar lo mismo. Esto depende de la parte del mundo en la que vivas.

Gradiente: (Matemáticas) El grado de inclinación de una gráfica en cualquier punto.

Pendiente: El gradiente de una gráfica en cualquier punto.

Fuente: Diccionarios Oxford

El gradiente también tiene otro significado:

Gradiente: (Matemáticas) El vector formado por el operador que actúa sobre una función escalar en un punto dado en un campo escalar.

Fuente: Diccionarios Oxford

Hay que tener en cuenta que el gradiente puede significar dos cosas diferentes en matemáticas.

Answer 4

Como el gradiente es un vector y el gradiente de un escalar es un vector, es decir, impulsa un escalar en una dirección; la pendiente es un escalar (el escalar puede ser positivo y negativo) pero impulsa una línea (y = mx + c) con una pendiente única hacia arriba o hacia abajo en una dirección (la desviación depende del cambio en perpendicular por unidad base es decir tan(theta) que es proporcional a theta y hacia arriba y hacia abajo la dirección por signos de + y -) a diferencia de un vector que tiene longitud finita (magnitud)