Diferencia entre Pendiente y Gradiente

Question

Han pasado algunos años desde que estudié mapas de contorno.

A menudo escucho que se usa pendiente y gradiente indistintamente al describir la inclinación.

¿Alguien conoce buenas definiciones y analogías de pendiente y gradiente?

Gracias,

Amanda

Answer 1

La mejor respuesta - Elegida por los votantes

Un gradiente es un vector, y la pendiente es un escalar. Los gradientes realmente adquieren significado en funciones multivariables, donde el gradiente es un vector de derivadas parciales. Con funciones de una sola variable, el gradiente es un vector unidimensional con la pendiente como su única coordenada (por lo tanto, no muy diferente a la pendiente en absoluto).

Fuente(s):
Actualmente estudiando cálculo multivariable

Answer 2

Los mapas de contorno grafican curvas de nivel de una función dada $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Una parametrización $(x(t),y(t))$ de la curva de nivel $f(x,y)=k$ satisface $f(x(t),y(t))=k$. Diferenciando con respecto a $t$ obtenemos lo siguiente mediante la regla de la cadena, $$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0$$ Por lo tanto, el gradiente $\nabla f = \langle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \rangle$ es perpendicular al vector tangente $\langle x',y'\rangle$ de la curva cuando los comparamos en un punto en particular.

Comparar la pendiente con $\nabla f$ directamente es cuestionable geométricamente ya que $y=f(x)$ es un gráfico mientras que el contexto natural para el gradiente es en el estudio de los mapas de contorno. Para un gráfico $z = f(x,y)$ el plano tangente tiene normal $\pm \langle \partial_x f,\partial_y f,-1 \rangle$. El análogo natural a la normal del plano tangente sería la pendiente o tal vez el vector dirección de la recta normal $y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$.

Eslogans:

1.) el gradiente apunta en la dirección para que puedas subir de nivel

2.) la derivada es la pendiente de la recta tangente

Para entender realmente debes separar los conceptos del gráfico de una función y las curvas de nivel. Estos están relacionados pero no son el mismo objeto.

Answer 3

A menudo escucho las palabras pendiente e inclinación usadas indistintamente para describir la empinada.

Esto se debe a que pendiente e inclinación pueden significar lo mismo. Esto depende de la región en la que vives.

Inclinación: (Matemáticas) El grado de empinada de una gráfica en cualquier punto.

Pendiente: La inclinación de una gráfica en cualquier punto.

Fuente: Oxford Dictionaries

La palabra "inclinación" también tiene otro significado:

Inclinación: (Matemáticas) El vector formado por el operador actuando sobre una función escalar en un punto dado en un campo escalar.

Fuente: Oxford Dictionaries

Es importante tener en cuenta que el término "inclinación" puede tener dos significados distintos en matemáticas.

Answer 4

Como el gradiente es un vector y el gradiente de un escalar es un vector, es decir, impulsa un escalar en una dirección; la pendiente es un escalar (el escalar puede ser positivo y negativo) pero impulsa una línea (y= mx+ c) con una pendiente única hacia arriba o hacia abajo en una dirección (la desviación depende del cambio perpendicular por unidad de base, es decir, tan(theta), que es proporcional a theta y la dirección hacia arriba y hacia abajo por medio de los signos + y -) a diferencia de un vector que tiene una longitud finita (magnitud)