Si un múltiple M tiene cero característica de Euler, hay un campo del vector no desapareciendo en ella

Question

Hay sugerencia: Si M ha aislado a puntos singulares, encontrar un diffeomorphism para hacer estos puntos singulares en un cualquier barrio que quieras. ¿Cómo podemos hacer a continuación?

Answer 1

// Voy a comenzar con una obstrucción de la teoría de la solución - en la esperanza de que alguien pueda resultar de interés.

(Por simplicidad, vamos a $\pi_1(M)=0$.) No desapareciendo campo vectorial es una sección de la spherization de $TM$, un paquete con fibra de $S^{n-1}$. Obstrucciones a la búsqueda de una sección de un paquete con fibra de $S^{n-1}$ mentira en grupos $H^k(M;\pi_{k-1}S^{n-1})$. Estos grupos son triviales para $k<n$ (ya que los coeficientes son triviales) y para $k>n$ (desde $M$ $n$- dimensional). Así que el único que no trivial de la obstrucción es la principal obstrucción $\chi\in H^n(M;\pi_{n-1}(S^{n-1}))=\mathbb Z$.

Y no es difícil demostrar, que coincide con el de Euler char (de hecho, el valor de la obstrucción en un $n$-cell es el grado de vector de campo en la delimitación de la esfera - que coincide con la suma de los índices de los puntos singulares de una extensión del campo en el interior de la célula).

// Referencia (obstrucción de la teoría de la aproximación a char. clases de): Milnor-Stasheff, sección 12.

---

Esto también explica, cómo resolver el problema directamente (en realidad, se trata de la misma solución en un lenguaje ligeramente diferente). Tomar cualquier campo vectorial $v$$M$, y elija una esfera, que contiene todos los puntos singulares. Grado (también conocido como índice) del campo en la esfera es exactamente $\chi(M)=0$ - lo que significa exactamente que hay un no-desaparición de la extensión del campo de la esfera a la pelota (coincidiendo con $v$, en el límite, pero no dentro de la bola).