Conjuntos convexos separados que no están estrictamente separados

Question

Pregunta 2.23 de Boyd y Vanderberghe:

Dar un ejemplo de dos conjuntos convexos cerrados que están separados pero que no pueden separarse estrictamente.

La idea obvia es tomar algo como unbounded conjuntos que están separados pero enfoque mutuamente en el límite. Por ejemplo, f (x) = 1 / x y g (x) = -1 / x. ¿Pero no es x = 0 un hiperplano de separación estrictamente aquí?

¡Gracias!

Answer 1

Tomar $X = \{(x,y) \mid xy\geq 1, x,y>0\}$ y $Y = \{(x,y) \mid x\leq 0\}$.

Answer 2

Decir que dos conjuntos convexos $C$ $D$ $\mathbb{R}^n$ pueden ser separados por un hyperplane $\mathcal{H}$ es decir que existe un funcional lineal $f$ $\mathbb{R}^n$ tal que $\mbox{sup} \{f\left(x\right)\: : \: x\in C\} \leq \mbox{inf} \{f\left(x\right)\: : \: x \in D\}$. $\mathcal{H}$ será entonces el hyperplane $\{x \in \mathbb{R}^n \: : \: f\left(x\right) = c\}$, que es un coset el núcleo de $f$.

Decimos que $C$ $D$ puede ser estrictamente separados si un funcional lineal $f$ puede ser elegido de manera que la desigualdad anterior es estricta. Su intuición acerca de qué tipo de cerrado de conjuntos convexos pueden ser separados, pero no estrictamente separados es correcta. Esto puede suceder cuando se $C$ $D$ no son compactos y enfoque arbitrariamente cerca el uno del otro sin reunión. Así que si dejas $C$ ser los puntos en $\mathbb{R}^2$ tal que $y \geq \frac{1}{x}$ $x > 0$ $D$ ser los puntos tales que $y \leq -\frac{1}{x}$$x > 0$, $C$ $D$ son separados por la funcional que se proyecta en el $y$ eje, pero no están estrictamente separados por este funcional.

Noé respuesta da otro buen ejemplo. joriki la respuesta se aclara un montón de cosas, y el papel que enlace es una buena introducción a este tema.

Answer 3

Algunos comentarios sobre la pregunta y Albert Steppi la respuesta (escrito como una respuesta porque están demasiado largo para un comentario):

• Ambos parecen haber ignorado el "convexo" parte de la pregunta. Lo que usted necesita no es las gráficas de estas funciones, pero los conjuntos de ellos vinculados. También debe seleccionar una de las dos ramas de cada una de las $1/x$ $-1/x$ con el fin de obtener un conjunto convexo.
• BoB, creo que la correcta ideas que salió mal es que se considera la desigualdad entre los valores de la funcional en lugar de la desigualdad entre sus infimum y supremum.
• Este artículo tiene más información sobre el tema.