Hormigón Matemáticas EJERCICIO 9.25:
Suponiendo \[ S_n = \sum_{k=0}^n \binom{3n}k \] Demostrar que \[ S_n = \binom{3n}{n}\left(2-\frac4n+O\left(\frac1{n^2}\right)\right) \]
Esta secuencia también aparece en OEIS A066380
He estado tratando de entender la respuesta al problema, pero no se pudo:
\[S_n\left/\binom{3n}n\right. = \sum_{k=0}^n \frac{n\cdots(n-k+1)}{(2n+1)\cdots(2n+k)}\tag1\] Podemos restringir el rango de la suma de a $0 \le k \le (\log n)^2$, dicen. En este rango de $n\cdots(n-k+1) = n^k\left(1-\binom k2/n+O(k^4/n^2)\right)$$(2n+1)\cdots(2n+k) = (2n)^k\left(1+\binom{k+1}2/2n+O(k^4/n^2)\right)$, por lo que el sumando es \[ \frac1{2^k}\left(1-\frac{3k^2-k}{4n}+O\left(\frac{k^4}{n^2}\right)\right) \tag2 \] Por lo tanto la suma de $k$ $2-4/n+O(1/n^2)\tag3$ Q. E. D.
La fórmula (1) es aceptable, ya que \[ \a la izquierda. \binom{3n}{n-k} \right/ \binom{3n}{n} = \frac{n\cdots(n-k+1)}{(2n+1)\cdots(2n+k)} \] La ecuación (2) tal vez se sostiene para $0 \le k \le (\log n)^2$, pero la fórmula (3) parece demasiado extraño (aviso que $k$ es limitada, no más de enteros de $[0..n]$. ¿Cómo podemos a la conclusión de que?
He tratado de considerar la ecuación (2) como la suma parcial de una potencia de la serie (la serie de Taylor para $n^{-1}$), pero parece que no hay evidencia de que la potencia correspondiente de la serie de (2) o (3) converge.
Ahora, OP ha entendido la respuesta. Un trivial truco es necesario. OP se busca una persona inteligente para dar una solución completa y establecer su/su respuesta aceptado como respuesta.
