Si $K=K^2$ entonces cada automorfismo de $\mbox{Aut}_K V$, $\dim V< \infty$, Dónde está la Plaza de algunos endomorfismos.

Question

Tengo que mostrar lo siguiente:

Deje $K$ ser un campo tal que $\mbox{char } K \neq 2$ y cada elemento de a $K$ es un cuadrado (es decir,$K^2=K$) y deje $V$ ser finito-dimensional espacios vectoriales sobre $K$. A continuación, para cada automorphism $\tau \in \mbox{Aut}_K V$ existe un endomorfismo $\rho \in \mbox{End}_K V$ tal que $\tau = \rho^2$.

Me he probado (de acuerdo a la sugerencia dada en el problema) que si $\sigma$ es nilpotent endomorfismo, entonces existe un endomorfismo $\rho$ tal que $\rho^2=1_V+\sigma$.

Por lo tanto, supongo (aunque no estoy seguro) que, bajo nuestros supuestos, podrían mostrar la automorphism $\tau$ puede ser representado como $\tau=1_V+\sigma$ donde $\sigma$ es nilpotent. Voy a estar agradecido por su ayuda.

Answer 1

Si mi respuesta a la pregunta Reducibilidad de $P(X^2)$ parece ser justo, creo que la afirmación es falsa.

1 - Contador de ejemplo

Considere la posibilidad de $A$ el compañero de la matriz de un polinomio $P(x)$, y deje $B$ ser una raíz cuadrada de $A$. Es claro - tome una triangulación en la algebraicas de cierre - que $\chi_B(x) \chi_B(-x) = \chi_A(x^2)$ y $\chi_A(x) = P(x)$.

Esto implica que $P(x^2)$ es reducible sobre el coeficiente de campo de $B$. Si uno tome $P = x^5 + 20x - 16$, creo que he demostrado que $P(x^2)$ es irreducible sobre el cuadrática cierre de $\Bbb Q$, lo que implica que $A$ no tiene raíz cuadrada sobre este campo.

2 - Complemento

Deje $K$ ser un campo, con carácter no dos, y $A$ una matriz cuadrada con coeficientes en $K$. No es fácil ver si de no $A$ admite una raíz cuadrada.

Podemos suponer que $\chi_A$ es la potencia de un polinomio irreducible. De hecho, $A$ estabilizar su eigen espacios asociados a cada factor irreducible, y lo hace cada matriz $B$ que conmutan con a $A$, que es el caso si $B^2 = A$.

Hay nilpotent de caso correspondiente a $\chi_A = x^n$ - es particular, hay algunos combinatoria condición en el tamaño de la nilpotents bloques de Jordan.

Vamos a considerar la no-singular caso. Podemos suponer que $A$ es diagonalizable. De hecho, siempre podemos escribir $A$$D+N$, $D$ diagonalizable y $N$ nilpotent, ambos con coeficientes en $K$, y con $DN = ND$. La matriz $A$ tiene una raíz cuadrada si y sólo si $D$ tiene una raíz cuadrada.

Así que se reducen para el caso de una matriz por bloques a lo largo de la diagonal iguales a la compañera de la matriz $C_P$ donde $\chi_A = P^d$. Esta matriz tiene una raíz cuadrada si y sólo si uno de los siguientes sostiene :

• $n$ es incluso ;
• La descomposición de campo de $\chi_A$ contiene las raíces de $\chi_A(x^2)$.