Encontrar polinomios con sus valores en puntos

Question

Es allí cualquier manera de la que puedo encontrar un polinomio dado de cualquiera de los 2 puntos (con coordenada x DE MI ELECCIÓN): digamos que hay algunos polinomio no sé(p(x)=2x3+x2+3), pero mi máquina me dará una salida. Doy un valor x de mi elección, y devuelve p(x), donde p(x) es el polinomio de la función. Doy otro valor de mi elección., x+h, y obtener el resultado p(x+h). Dado estos resultados, tengo que encontrar p(x) como un polinomio.

Lo que he hecho está enchufado en 0, lo que me da el término final de la polinomio que no se multiplica por cualquier potencia de x. Luego me conecte 1, obteniendo otra salida. Cuando me encuentro con la "pendiente" de los dos puntos, me da la suma de todos los coeficientes de todos los términos que son potencias de x. Si hago esto, para el que p(x), tengo 3, que es la suma de 2 y 1. Sin embargo, no puedo entender lo que las potencias de x hay y lo que los coeficientes específicos hay. ¿Alguien sabe cómo solucionar esto?

@GerryMyerson y @Shash dijo que yo pueda encontrar el polinomio dado la cota de los coeficientes. Estoy confundido en cuanto a lo que significa. Sólo hay un número que es la suma de los coeficientes. ¿Hay un límite? También, ¿cómo puedo encontrar esta suma de coeficientes con un valor? Necesito usar uno más valor, M+1, como Shash dijo, así que no puedo usar 2 valores para encontrar el max/suma, como no voy a ser capaz de pedir un valor que es M+1. Alguien puede ayudar? Gracias.

EDIT: entero No negativo de los coeficientes se supone.

Answer 1

Si todos los coeficientes son enteros no negativos y si sabemos que el máximo de todos los coeficientes, entonces es fácil encontrar los coeficientes con sólo ${one\ point}$ de elección. Digamos que el max es $M$. Luego de evaluar el polinomio en $M+1$. La salida será igual al número decimal sistema de representación de un número cuya base $M+1$ número de dígitos como los coeficientes del polinomio. Por tanto, dada la salida, acaba de llegar a la base $M+1$ de representación.

Por lo tanto, incluso si tiene sólo un límite superior (puede ser muy pierden límite superior), que acaba de establecer que como $M$ y proceder como en el anterior.

Como Gerry Myerson señala en los comentarios, si usted no tiene un límite superior, puede utilizar $M = p(1)$. A continuación, sólo dos evaluaciones serán necesarios para determinar los coeficientes.

Answer 2

Con dos puntos sólo se puede determinar únicamente $p(x)$ si tiene grado uno. En general si $p(x)$ tiene grado $n$, se necesita el ordenador dan $(n+1)$ salidas, cada uno por una entrada diferente.

Por ejemplo si $p(x)$ tiene grado 2 y es que de entrada $0$y $1$ y obtener salidas $a$ y $b$ respectivamente, hay un número infinito de parábolas que pasan por estos puntos. Estas son algunas:

$p(x) = (b-a)x^2+a$

$p(x) = bx^2-ax+a$

$p(x) = 2bx^2-(b+a)x+a$

$p(x) = -3ax^2+(b+2a)x+a$

Answer 3

Cuenta con un polinomio de grado $n$ $n+1$ coeficientes. Si usted sabe el grado pero no sabe nada acerca de los coeficientes, necesitarás $n+1$ valores del polinomio para determinarlas. Si no sabes el grado, no hay cantidad de valores del polinomio será suficiente.

Answer 4

Jajaja Lo haría con un mínimo de puntos de $n$, $n$ Dónde está la dimensión del polinomio. Por ejemplo, vamos a intentar encontrar un % polinomio cúbico $p$donde $p(0)=0$ y $p(1)=1$. Observe que $p_1(x)=x^3-x^2+1$ y $p_2(x)=x^3-x+1$ ambos satisfacen los criterios dados.