Si la serie de $\sum a_n$ es convergente con términos positivos no $\sum \sin a_n$ también convergen?

Question

Si $\{a_n\}$ es una secuencia de términos positivos tales que la serie $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ coverges, ¿la serie $$\sum_{n=1}^\infty \sin a_n$$ converger?

Creo que el límite de la prueba de comparación es necesaria, pero no estoy seguro de cómo usarlo aquí

Answer 1

Desde $\lim\limits_{k \to \infty} a_k=0$, $$\tag 1\lim_{k \to \infty} \frac{\sin a_k}{a_k}=1$$

Por lo tanto $\sum_k |\sin a_k|$ converge $\iff \sum_k |a_k|=\sum_k a_k$. Por su hipótesis y la de arriba, $\sum_k \sin a_k$ va a ser absolutamente convergente, por lo que van a converger.

Answer 2

el uso que $|\sin(y)|\leq |y| $ (probar con el de la serie) otra cosa que usted podría probar con valor medio teorema.