Campo vectorial y curva integral

Question

Sea M una variedad riemaniana, $V$ un campo vectorial en M, y $\phi_t$ el flujo respectivo Sea $p\in M$ y $\gamma$ la curva integral de $V$ . Demuestre que para todo $v\in T_pM$

$$\frac{D}{dt}\bigg|_{t=0}(d\phi_t)_pv=\nabla_vV$$

donde $\frac{D}{dt}$ es la derivada covariante a lo largo de $\gamma$ y $\nabla$ es la conexión Levi-Civita.
¿Alguien puede ayudarme? ¿Alguna idea al menos?

Answer 1

La respuesta requiere desenvolver algunas definiciones. Permítanme darles un punto de partida.

Mi sugerencia es que mires lo que la ecuación intenta decirte sobre las cantidades geométricas. Se te da una EDO sobre $M$ por $\dot \gamma(t) = V(\gamma(t))$ . Esto le da una $1$ -de difeomorfismos de $M$ siguiendo el flujo $\phi_t$ . Te interesa especialmente la curva integral de esta ecuación que pasa por $p$ . La cantidad $d\phi_t(p) v$ la linealización de este flujo actuando sobre un vector en el punto $p$ . Se quiere diferenciar esto con respecto al tiempo (en $t=0$ ) y vea lo que obtiene.

¿Qué es esto geométricamente? Esto está diciendo que usted mira a su ODE, y pensar en el tiempo $t$ flujo $\phi_t$ y mira lo que esto hace a las condiciones iniciales cerca de $p$ . A medida que se tambalea la condición inicial $p'$ cerca de $p$ Si miras cómo $\phi_t(p')$ varía de $\phi_t(p)$ .

Ahora bien, hay dos formas de medir lo que el flujo linealizado hace infinitesimalmente (es decir, cómo un "bamboleo" infinitesimalmente pequeño cambia la salida). La primera es considerando esta derivada covariante, como tienes a la izquierda de tu ecuación. La segunda es considerando la derivada de Lie de $v$ con respecto a $V$ . Ahora bien, ¿cuál es la relación entre ambos? ¡Aquí es donde se utiliza que la conexión Levi-Civita es libre de torsión! Libre de torsión significa \[ \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y] = L_X Y. \]

Creo que esto es suficiente para empezar, pero si te quedas atascado, no dudes en dejarme un comentario.