Lo que es una forma intuitiva de ver cociente espacios?

Question

Entiendo el concepto de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, pero estoy teniendo un momento muy difícil la comprensión de cómo este concepto de cocientes se aplica a los espacios vectoriales. Supongamos $V = \mathbb{F}[x]$ es un espacio vectorial y $U \le V$. ¿Qué hace exactamente $V/U$ representan?

Answer 1

Creo que el cociente de los espacios (o cociente de estructuras algebraicas en general) es como una identificación de las cosas que se diferencian por algunos subespacio/subgrupo/sub-anillo/... de la estructura original. A continuación, el cociente del espacio (resp. algebraico de estructura) puede ser pensado como lo que usted consigue cuando usted squash el subespacio (resp. subestructura) a un punto y se extienden al resto del espacio (resp. la estructura).

Para ilustrar esto, con $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, podemos identificar enteros que difieren en un múltiplo de $n$. Lo que hacemos es la calabaza $n\mathbb{Z}$ a un punto, a saber,$0$, y esto se extiende al resto del espacio por aplastamiento $a+n\mathbb{Z}$$a$$0 \le a < n$. A continuación, las operaciones de adición y así sucesivamente se heredan de forma natural en el coeficiente de operación.

Como otro ejemplo, con $\mathbb{R}^2/\langle (1,1) \rangle$ a identificar las cosas que se encuentran en la misma línea se situaría en el $45^{\circ}$ a (positivo) horizontal, es decir, podemos identificar los vectores que se diferencian por algunos escalar varios de los vectores $(1,1)$. Podemos visualizar esto como contratante $\langle (1,1) \rangle$ a un punto, que cuando extiende linealmente contratos $\mathbb{R}^2$ a una línea que pasa por el origen, dejando $\langle (1,-1) \rangle$. (Imaginar aplastamiento de todo el avión hacia el origen perpendicular a la línea de $\langle (1,1) \rangle$). Otra perspectiva es que los 'puntos' en $\mathbb{R}^2/\langle (1,1) \rangle$ puede ser pensado como, precisamente, las líneas en $\mathbb{R}^2$ con gradiente $1$.

Más generalmente, si $V$ es un espacio vectorial y $U \le V$ es un subespacio, entonces usted puede pensar de $V/U$ como el espacio que usted consigue cuando usted identificar dos elementos $v, v' \in V$ si $v'=v+u$ algunos $u \in U$. Lo que 'parece' es lo que usted consigue cuando usted contrata $U$ a un punto y se extienden de forma lineal con el resto del espacio.

Espero que esto no era demasiado waffly.

Answer 2

Un espacio vectorial cociente es un muy simple proyección cuando se ve en una base adecuada. Es decir, una base del subespacio de U puede ser extendida a una base de todo el espacio V. a Continuación, modding por U equivale a la reducción a cero de los componentes de la base correspondiente a U, es decir, la proyección sobre el subespacio complementario formado por todos los demás componentes.

Por ejemplo, considere el espacio vectorial $\mathbb R^{\infty}$ de poder formal de la serie con coeficientes reales. Modding a cabo por el subespacio de extraña serie de $\mathbb R[x,x^3,x^5,\ldots]$ corresponde a la proyección sobre el subespacio de, incluso, el poder de la serie de $\mathbb R[1,x^2,x^4,\ldots]$ es decir, tomando la parte de potencia de la serie (y viceversa). La combinación de los dos rendimientos de la descomposición de una serie como la suma de sus pares e impares partes.

Del mismo modo, modding por $\mathbb R[x,x^2,x^3,\cdots]$ corresponde a la proyección sobre el subespacio de serie constante $\mathbb R[1]$, es decir, "evaluar" a $x = 0$. Modding por $\mathbb R[x^2,x^3,x^4,\ldots]$ corresponde a proyectar sobre la "tangente" espacio de $\mathbb R[1,x]\:$ través $\:f(x)\mapsto f(0) + f'(0)\:x = $ primer orden Taylor approximant.

Answer 3

Visualizo el cociente del espacio como "la foliación" del espacio - creo ensalada, pero con rectilíneo capas se extiende infinitamente hacia el exterior - y en este caso las capas de la foliación en $V/W$ son cosets de la subespacio $W$. Geométricamente, la cosets son sólo el espacio de $W$ desplazado en cualquiera de las direcciones normales. Por ejemplo, una línea que pasa por el origen en $\mathbb{R}^2$ es un subespacio, para obtener el cociente se designa a cada línea paralela a la misma en el plano como un elemento del cociente, y nos parametrizar estas capas mediante el dibujo de un segundo, no paralelos prueban línea a través de la primera en el origen, de manera que cada punto de la segunda línea representa la capa a la que se cruza en el plano. Para agregar o escalar multiplicar dos capas, nosotros simplemente no la asocia operaciones vectoriales sobre el subespacio dado por nuestra segunda línea!

Usted puede hacer un ejercicio de geometría similar en $\mathbb{R}^3$ con líneas y planos. Con dimensiones superiores o más espacios abstractos, no siempre tenemos el lujo de una directamente es visualizable ilustración, pero me parece que la idea de que estamos cortando un espacio en ensalada capas útil toda la misma.

Answer 4

Veamos un ejemplo sencillo. Voy a tomar $V = \mathbb{R^2} = \{(x,y): x,y \in \mathbb{R}\}$$U = \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$;. i.e $U$ $x$- eje en el interior del avión. ¿Qué es $V/U$? En una expresión algebraica, es el espacio vectorial de cosets de $U$: es decir, me identificar dos puntos de $(x,y)$ $(x', y')$ si $(x,y) - (x',y') \in U$. En nuestro contexto, esto sucede exactamente al $y = y'$. Así podemos identificar a todos los puntos que tienen un determinado $y$-coordinar, y la adición de cosets $(x,y) + U$ es sólo la adición de la $y$-coordenadas. Aunque podría ser tentador para identificar a $U$ $y$- eje, esto es un poco engañoso, ya que esto llevaría a pensar que el cociente del espacio de $V/U$ es un subespacio de $V$, que no lo es.

Answer 5

Lo $V/U$ representa depende mucho de lo $V$ $U$ representan.

De todos modos, ya que mencionas $F[x]$, un ejemplo clásico es $F = \mathbb{R}$ y $V$ = $\mathbb{R}[x]$, y $U = (1+x^2) V$. (es decir, todos los múltiplos si $(1 + x^2)$). A continuación,$V/U \cong \mathbb{C}$, una de dos dimensiones de espacio vectorial real. Esto viene generalmente en el contexto de los anillos más que pura álgebra lineal, aunque.

En este caso, es claro lo $U$ $V$ representa a; $V$ es destinado a representar polinomios en una hipotética raíz cuadrada de $-1$, e $U$ está destinada a representar los polinomios que están destinados a ser cero.