Hay una cosa que se llama una Exponencial de Campo, a pesar de que la exponencial aquí es más indicativo de la unario función en lugar de un binario, sin embargo. Esta es, esencialmente, precisamente lo que usted describe, si reemplazamos la monoid con el grupo. Desde $\mathbb{N}$ $[0,\infty)$ son semirings, me parece que es el análogo plazo sería Exponencial Semiring.
Los números complejos de la forma exponencial de campo, y la falta de un orden total.
Va con la Exponencial semiring idea, creo que se puede tomar el semiring de $n\times n$ matrices con coeficientes positivos y utilizar el operador exponencial. Esto no tiene la propiedad de que la multiplicación de los desplazamientos o que $e^{A+B}=e^Ae^B$, sin embargo, ya que esto requiere que las matrices que conmutan. Esto no satisface (5).
Para corregir esto, podemos tomar la semiring de todos los $n\times n$ diagonal de las matrices. En este caso, tenemos la propiedad conmutativa de la multiplicación y la suma, y $e^{A}$ es otra matriz diagonal. Esto satisface (5) cuando examinamos la exponenciación como la potencia de una matriz en lugar de exponencial, lo que significa que en su $x^{ab}=(x^a)^b$, consideramos que $b$ como un escalar.
Para terminar la construcción de un ejemplo, podemos hacer que la semiring de todos los $n\times n$ diagonal de las matrices con los no-negativo de las entradas de la diagonal. Definimos una exponencial operador binario mediante la definición de $\log(I+M)=\sum_{n\geq 1}{\frac{(-1)^{n-1}M^n}{n}}$ en la serie de Mercator y la definición de $M^N=\exp(N\log M)$. Esto satisface las propiedades de $I^M=I=M^0$$M^{N+N'}=M^NM^{N'}$. Para ver que esto satisface (5), nos damos cuenta de que tanto la exponencial y el logaritmo de la operación aplicada a una matriz diagonal son simplemente aplicaciones de la $\exp$ $\log$ funciones en los reales aplicados componente sabio a la diagonal de las entradas de la diagonal de las matrices. Esta es la razón por la que debemos tomar no negativo diagonal de las matrices (y positivo de la diagonal de las matrices para el logaritmo). Cuando hacemos esto, nos encontramos con que naturalmente se cumple (5). Hay un pequeño problema aquí, sin embargo: este tiene un orden total sobre dándole el diccionario de pedidos.
Tal vez teniendo complejidad de la diagonal de las matrices y de tomar principales valores que puede darle lo que usted está buscando, pero no es un orden total dado en este mediante el diccionario de pedido como un orden total en los números complejos (con el natural con el pedido en $\mathbb{R}$) y, a continuación, tomar el diccionario de pedidos en la diagonal de las matrices.
Teóricamente, ya que cada conjunto puede ser totalmente ordenado, sin hacer estipulaciones adicionales con respecto a lo de las propiedades de la orden, no se puede decir mucho acerca de la exponencial semirings con o sin un orden total. Si queremos que el fin de ser compatibles con el monoid operaciones, entonces usted tiene una oportunidad para hacer que el objeto que desea.
Voy a actualizar con ejemplos como yo pienso de ellos.
