El paseo aleatorio en $\mathbb{Z}^2$

Question

Considere la posibilidad de un paseo aleatorio en el entero de celosía en el plano. Si una "partícula" de hacer un random a pie llega a un punto de celosía $p = (k_1,k_2)$ en el momento en $t$, entonces uno de los cuatro vecinos $(k_1±1, k_2 )$, $(k_1 , k_2 ± 1)$ de p es seleccionado con probabilidad igual a $\frac{1}{4}$ . La partícula se mueve para que el vecino en el tiempo $t + 1$. Deje $D$ ser una región en el plano (un cuadrado o un medio plano, por ejemplo), y deje $B$ el valor de sus límites. Deje $p$ ser un punto de $D$, y deje $b$ ser un punto límite. Vamos a denotar por $P_p(b)$ la probabilidad de que una caminata aleatoria de partida en $p$ salidas a $b$, es decir, que $b$ es el primer punto límite que se alcanza.

Me preguntaba si alguien me podría ayudar a responder algunas preguntas, si la región en el plano que estamos considerando es un rectángulo.

1) ¿Cuál es la probabilidad de que una partícula de partida en $p$ nunca alcanza el límite? 2) ¿Qué es el "tiempo de salida", el tiempo de espera para una partícula de partida en $p$ a alcanzar el límite? 3) ¿Cómo es el tiempo de salida dependen de $p$?

Answer 1

Si la región es acotado,es decir, el número de puntos es finito, el nombre de los puntos del interior como $p_1,\dots,p_n$. Deje $t_1,\dots,t_n$ la correspondiente espera la salida de los tiempos. Vamos también a $a_1,\dots,a_n$ denotar el número de puntos de límite adyacente a cada una de las $p_i$. Ahora definir la matriz $B=(b_{ij})$ $b_{ij}=1$ si $p_i$ $p_j$ son adyacentes, y $b_{ij}=0$ lo contrario (tenga en cuenta que $b_{ii}=0$). Entonces $$ T=\frac 14(a+B(T+1)), $$ a partir de la cual se deduce que $$ T=(4 Id-B)^{-1}(A+B1), $$ donde 1 es el vector de, $(T+1)_i=t_i+1$. Por ejemplo, si $n=1$, luego $A=(a_1)=(4)$, $B=0$ y por lo $T=(t_1)=(1)$.

Si $n=2$, $A=\begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$ y por lo $T=\begin{pmatrix} 4/3\\ 4/3 \end{pmatrix}$.

Si $n=3$, $A=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$ y por lo $T=\begin{pmatrix} 10/7\\ 12/7\\ 10/7 \end{pmatrix}$.

Si $n=4$ y tiene una plaza de, $A=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 2\\2 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\ 1&0&0&1\\1&0&0&1\\ 0&1&1&0 \end{pmatrix}$ y por lo $T=\begin{pmatrix} 2\\2\\2\\2 \end{pmatrix}$.

Si $n=9$ y tiene una plaza, $A=\begin{pmatrix} 2\\1\\ 2\\1\\0\\1\\ 2\\1\\2 \end{pmatrix}$ $B=\left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$ and so $T=\left( \begin{array}{c} \frac{11}{4} \\ \frac{7}{2} \\ \frac{11}{4} \\ \frac{7}{2} \\ \frac{9}{2} \\ \frac{7}{2} \\ \frac{11}{4} \\ \frac{7}{2} \\ \frac{11}{4} \\ \end{array} \right)$.

La región no necesita ser un cuadrado o un rectángulo.

Para algunas regiones infinitas uno puede calcular la espera de la salida de veces. En el caso de la mitad de plano, no es posible, el tiempo de espera no puede ser finito, porque, a continuación, $t_k=k t_1-4 \binom{k}{2}$ conduce a una contradicción. Si usted tiene un ser infinitamente largo rectángulo de altura $n+2$ (de modo que usted tiene $n$ trivial filas de puntos), entonces usted tiene $t_1=2n$ $t_k=k t_1-4 \binom{k}{2}$ $k=2,\dots,n$.