¿Cómo encontrar el valor máximo de $|z^2 - 2iz+1|$ que $|z|=3$, utilizando el triángulo de la desigualdad?

Question

Problema:

¿Cómo encontrar el valor máximo de $|z^2 - 2iz+1|$ que $|z|=3$, utilizando el triángulo de la desigualdad?

Mi intento:

$$|z^2 - 2iz+1|\le|z|^2+2|i||z|+1$$

$$\implies |z^2 - 2iz+1|\le16$$

Sin embargo, no se prevé un estricto límite superior de la desigualdad, donde la igualdad se mantiene.

También he tratado de escribir como:

$$|(z-i)^2 + 2| <= |(z-i)|^2 + 2$$ Esta última ecuación indica que el valor máximo se produce en $-3i$, sin embargo, proporciona aún más el límite superior de $18$.

Wolfram Alpha nos da la respuesta como $14$, y se produce como $-3i$. Sé que la igualdad sólo se mantiene cuando todos los números complejos son colineales, pero que no ha ayudado a mí con esta pregunta.

Answer 1

Después de jugar con el triángulo de la desigualdad por un tiempo, podemos darnos cuenta de que no vamos a llegar al máximo sin absurda ingenio, para considerar otros métodos:

• Cálculo I: puntos estacionarios: Sustituto $z = 3 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, encontramos partes real e imaginaria y construir el módulo como la suma de los cuadrados de esas partes, dando (simplificado) $$\sqrt{2} \left( \sqrt{59 + 9 \cos(2 \theta) - 48 \sin(\theta)} \right) \text{.}$$ Differentiate this with respect to $\theta$, giving $$ -\frac{3\sqrt{2} \left( 8 \cos(\theta) + 3 \sin(2\theta) \right)}{\sqrt{59 + 9 \cos(2 \theta) - 48 \sin(\theta)}} \text{.}$$ Set this equal to zero and solve for $\theta$, giving $\pm \pi/2$ as locations of stationary points. Evaluating the substituted polynomial at these two angles gives $-2$ and $-14$, so the maximum modulus of the polynomial on the circle of radius $3$ is $14$.
• Multiplicadores de Lagrange: Construcción$z^2 + 2\mathrm{i} z + 1 + \lambda(|z| - 3)$, a continuación, tomar derivados con respecto a $z$$\lambda$, aquellos simultáneamente iguales a cero y resolver. Usted obtener ese $z = \pm 3\mathrm{i}$. Conectar de nuevo, nos encontramos con el máximo módulo es de 14.
• Geometría: Este polinomio es $(z-(\mathrm{i}+\mathrm{i}\sqrt{2}))(z-(\mathrm{i}-\mathrm{i}\sqrt{2}))$. Tomando el módulo, nos damos cuenta de que el nivel de los conjuntos son colecciones de puntos cuyo producto de distancias a partir de dos punto dado (las raíces acabo de encontrar) son fijos. Estos conjuntos de nivel son óvalos de Cassini. Por simetría, entonces, el valor máximo será en el eje imaginario y no es un gran reto para darse cuenta de ello será el de $3\mathrm{i}$ $-3\mathrm{i}$ que está más lejos del punto medio de las raíces (que es $\mathrm{i}$). Conectar $-3i$ nuevo en el polinomio, tenemos que el valor máximo del módulo de es $14$, de nuevo.

Answer 2

La fuerza bruta. Deje $z=3(c+i s)$ donde$c=\cos t$$s=\sin t$$t\in R$. Deje $V= z^2-2 i z+1.$ $$ V=(z-i)^2+2=(3 c +i(3 s-1)^2+2=9 c^2-(3 s-1)^2 +6 i c(3 s-1)+2=$$ $$=9c^2-9 s^2+6 s+1+i(18 c s-6c)=(9 c_2+6 s+1) +i(9 s_2-6 c)$$ where $c_2=c^2-s^2=\cos 2 t$ and $s_2 =2 c s=\sen 2 t.$....... So we have$$|V|^2=(81 c_2^2+36 s^2+1+108 c_2 s+18 c_2+12 s)+(81 s_2^2-108 s_2 c+36 c^2).$$ Now $81 c_2^2+81 s_2^2=81$ and $36 s^2+36 c^2=36,$ while $108(c_2 s-s_2 c)=108 (\cos 2 t \sen t\sen 2 t\cos t=108(\sin (t-2 t)=-108 s.$.... So after simplifying we have $$|V|^2=118-96 s+18 c_2=118-96s +18(1-2 s^2)=136-96s -36 s^2$$( because $c_2=\cos 2 t= 1-2 \sin^2 t=1-2 s^2$.)..... Since $-1\leq s\leq 1$ the problem is to find the maximum value of $136-96 s-36 s^2$ for $s\en [-1,1]$, which is easily seen to be $196$, attained when $s=-1$. So $|V|^2\leq 196=14^2$.... When $s=-1$ we have $z= -3 i$ and $V=-14$ and $|V|=14$.

Answer 3

Estoy publicando esto como una respuesta en forma de imágenes, ya que las Imágenes no son compatibles en los comentarios. Ahora así que, básicamente, como se señaló en los comentarios, incluso a pesar de que han de determinar el rango de $|z^2+1|$ y sabemos que su valor Máximo es $10$ todavía no podemos determinar el valor máximo/mínimo de$|z^2-2iz+1|$...

Así que a pesar de poner este (10)en la ecuación $$|z^2-2iz+1|\le 10+6 $$ and again keeping (8) in the equation $$|z^2-2iz+1| \le 8+6$$... sólo podemos decir que este mucho ..pero, de nuevo mirando estas dos ecuaciones
$$|z^2-2iz+1|\le 10+6$$ $$|z^2-2iz+1| \le 8+6$$

Así que después de mirar en este(los dos ecuaciones simultáneas) yo creo que definitivamente podemos decir que el $|z^2-2iz+1|$ debe ser menor o igual a $14$ porque dicen que tenemos $|z^2-2iz+1|$ y sabemos que es menos de $16$, pero también sabemos que se está a menos de $14$, por lo que estos dos pueden ser simultáneamente verdaderas sólo en una situación... y así nuestra última desigualdad es... $$|z^2-2iz+1| \le 14$$ so this indeed gives the right answer $14$ pero como se señaló en los comentarios por Ashish ..este no es el método correcto en general y sólo funciona en algunas circunstancias como estas...así que yo no estoy tan seguro acerca de este método, porque no es en general...