Demuestra que $\sqrt[3]{2+\frac {10} 9\sqrt 3}+\sqrt[3]{2-\frac {10} 9\sqrt 3}=2$

Question

Encuentre $\displaystyle\sqrt[3]{2+\frac {10} 9\sqrt 3}+\sqrt[3]{2-\frac {10} 9\sqrt 3}$ .

Encontré que, por calculadora, es en realidad $\bf{2}$ .

Métodos para negar algo como $\sqrt{a+b\sqrt c}$ parece ser inútil aquí, ¿qué debo hacer?

Answer 1

Tenemos

$\displaystyle 2 + \frac{10}{9} \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{9} \sqrt{3}$ $\displaystyle = 1 + \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}^2} + \frac{1}{\sqrt{3}^3}= \bigl(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^3$

Del mismo modo, tenemos $2-\frac{10}{9} \sqrt{3} = \left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$ . Por lo tanto

$\displaystyle \sqrt[3]{2+\frac {10} 9\sqrt 3}+\sqrt[3]{2-\frac {10} 9\sqrt 3} ~ = ~ \bigl(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\bigr) +\bigl(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = 2$ .

PD: Tengo que admitir que la primera línea está un poco desmotivada. Se necesita cierta experiencia para ver estas transformaciones (mientras que la verificación es trivial). Como alternativa, puedes esperanza que ambos sumandos de esta complicada suma se encuentran en realidad en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{p+q \sqrt{3} : p,q \in \mathbb{Q}\}$ , haga el Ansatz $2+\frac{10}{9} \sqrt{3} = (p+q \sqrt{3})^3=\dotsc$ y resolver para $p,q$ lo que da $p=1$ y $q=\frac{1}{3}$ como posible solución. La respuesta de lab bhattacharjee explica cómo calcular la suma de forma más "mecánica".

Answer 2

$$S=\displaystyle\sqrt[3]{2+\frac {10} 9\sqrt 3}+\sqrt[3]{2-\frac {10} 9\sqrt 3}$$

Así que.., $$S^3=2+\frac {10} 9\sqrt 3+2-\frac {10} 9\sqrt 3+3\cdot \sqrt[3]{2+\frac {10} 9\sqrt 3}\cdot\sqrt[3]{2-\frac {10} 9\sqrt 3}\cdot S$$

$$\implies S^3=4+2S$$ como $(2+\frac {10} 9\sqrt 3)(2-\frac {10} 9\sqrt 3)=4-\frac{100\cdot3}{81}=\frac8{27}=(\frac23)^3$

$$\iff S^3-2S-4=0$$

$$\implies S^3-2^3-2(S-2)=0\implies (S-2)(S^2+S+2)=0$$

Observe que $2$ es la única raíz real positiva de la última ecuación

Answer 3

Sea $x=\sqrt[3]{2+\frac {10}{9}\sqrt 3}, y=\sqrt[3]{2-\frac {10}{9}\sqrt 3}$ . Entonces $$ x^3+y^3=4,\quad xy=\frac{2}{3}. $$ El resto es suyo.

Answer 4

Encuentre $p$ y $q$ tal que

\begin{cases} -\frac{q}{2}=2\\[3ex] \frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}=\frac{100}{27} \end{cases}

Esto, por supuesto, da $q=-4$ y

$$ \frac{p^3}{27}=\frac{100}{27}-4=-\frac{8}{27}, $$

así que $p^3=-8$ y $p=-2$ .

Ahora encuentra la única raíz real del polinomio $x^3+px+q=x^3-2x-4$ que es, por supuesto $2$ . En efecto, el factor polinómico como

$$ x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2) $$ y el factor de segundo grado no tiene raíces reales.

Este ejemplo muestra claramente por qué las fórmulas de Cardan tienen una utilidad muy limitada: presentan las raíces de una forma que las hace ininteligibles.

He aquí la fórmula de Cardan para ecuaciones de tercer grado con una sola raíz real: si $x^3+px+q=0$ y el discriminante

$$\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}>0$$

entonces la única solución real para la ecuación es

$$ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} $$

Answer 5

Demostrando que $\displaystyle\sqrt[3]{2+\frac {10} 9\sqrt 3}+\sqrt[3]{2-\frac {10} 9\sqrt 3} = 2$ es lo mismo que demostrar que $2\pm\frac {10} 9\sqrt 3$ tiene una raíz cúbica de la forma $1 \pm a\sqrt 3$ (con racional $a$ ).

$(1\pm a\sqrt 3)^3 = (1+9a^2)\pm(3a+3a^3)\sqrt 3$ y se comprueba rápidamente con $a = 1/3$ obtienes simultáneamente $1+9a^2 = 2$ y $3a(1+a^2) = \frac{10}9$ Por lo tanto $2 \pm \frac{10}9\sqrt 3 = (1\pm\frac 13\sqrt 3)^3$ y su expresión original se simplifica a $1+\frac 13\sqrt 3+1-\frac 13\sqrt 3=2$