La modelización de la Descomposición de un Pack de Caníbales Hienas

Question

Una población de $p_0$ hienas se ha quedado fuera de los alimentos en su ecosistema, y tan tristemente han recurrido a comer unos a otros.

Las hienas necesidad de consumir una comida al día, y así es exactamente una vez por día, cualquier hiena va a matar a otra hiena. La hora a la que esto sucede es aleatorio, es decir, la hiena la hora de la comida se distribuye uniformemente por todo un conjunto de $24$ horas.

Suponiendo que el último hiena le da hambre y mueren tratando de comer a sí mismo, ¿después de cuánto tiempo la población de hienas extinguido?

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Estoy puede pensar de dos maneras diferentes para responder a esta (ninguno de los cuales sé cómo resolver). El primero es más simple y menos preciso (y, por tanto, merecen menos la gloria).

Respuesta 1

Podemos discretizar el tiempo en segundos, y así la población $p(t)$ hienas después de $t$ segundos puede ser escrita como: $$p(t) = p(t-1) - \frac{p(t-1)}{86400}.$$ (¿Por qué? En cualquier momento dado, hay $60*60*24 = 86400$ segundos en un día cada una hiena tiene un $1$ $86400$ oportunidad de comer otra hiena.)

Claramente este es descuidado, ya que no se garantiza que el número de hienas va a morir cada segundo. También, cuando una hiena sigue siendo, consigue sucio (aunque se podría decir que le llevará un día completo a morir). Creo que este es el modelado que el valor esperado de $p(t)$, pero no estoy seguro.

Pero aún así, me gustaría ver cómo podemos obtener una limpia fórmula para $p(t)$ a partir de esta recursividad, y a ver cuando se vuelve $0$.

Respuesta 2

Pensamos en el tiempo como en la continua, y el canibalismo de las hienas como (Veneno?) proceso, en el que cada evento--la muerte de una hiena, se produce a un cierto ritmo. La parte difícil es que esta tasa es dependiente de la actual población de las hienas...

Supongo que la solución será dado por $E[t | p(t) = 0]$.

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He estado pensando en esto por un tiempo, y estoy realmente curioso a ver qué te parece!

Answer 1

Deje que el número de hienas vivo en cualquier momento dado, ser $N(t)$. Claramente, $N'(t)$ debe ser proporcional a $N(t)$ - la tasa de consumo depende del número de hienas a sí mismos.

$$N'(t) = \alpha N(t)$$

Para algunas constante de proporcionalidad $\alpha$. Por supuesto, las soluciones a esta ODA son exponenciales.

$$N(t) = e^{\alpha t} N(0)$$

Si medimos $t$ en cuestión de días, entonces queremos que $N(1) = N(0)/2$. Este establece $\alpha = \ln \frac{1}{2}$, o

$$N(t) = \left(\frac{1}{2} \right)^t N(0)$$

Este es un clásico de la mitad de la vida el proceso de decaimiento, y uno espera que sea un buen modelo cuando la población es alta. Cuando la naturaleza discreta del problema es importante, sin embargo, la Poissson proceso es de hecho lo que deberíamos esperar de su uso. Hay algunos problemas--el probablistic la naturaleza significa que es solo espera que cada una de las hienas se comen una vez en un día determinado. Aún así, esta es probablemente la mejor manera de ir sobre ella. El proceso de Poisson debe dar una distribución de probabilidades para cuando la población extinta. Por wiki, la probabilidad de que un determinado número de eventos (en este caso, la hiena muertes) durante un tiempo dado $\tau$ es

$$P[N(t + \tau) - N(t) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!}$$

donde aquí, $\lambda = \ln 2$. Para cualquier momento dado,$\tau$, uno puede sumar todos los $k \geq N_0$ (o, más probablemente, la suma de todos los casos de $k < N_0$ y restar este de 1) a buscar en la red la probabilidad de que, en ese momento, la población se ha extinguido.

Answer 2

Yo no tengo la respuesta, pero se me ocurren dos límites.

El límite inferior, el peor de los casos, podría ser que después de un día, sólo una hiena sobrevive. Para que, si el número de las hienas $$p_{0,1} \hspace{5mm} p_{0,2} \hspace{5mm} p_{0,3} \hspace{5mm} \cdots \hspace{5mm} p_{0,k}$$ y sucede que la hiena 2 come hiena 1, y después de que la hiena 3 come hiena 2, y así sucesivamente, después de sólo un día, el único hiena vivo es el $k^{th}$ hiena.

Pero usted puede cambiar el orden en el que las hienas se comen entre otros para obtener un límite superior. Si desea alinear las hienas en dos filas: $$p_{0,1} \hspace{5mm} p_{0,2} \hspace{5mm} p_{0,3} \hspace{5mm} \cdots \hspace{5mm} p_{0,k/2}$$ $$p_{0,k/2 + 1} \hspace{5mm} p_{0,k/2 + 2} \hspace{5mm} p_{0,k/2 + 3} \hspace{5mm} \cdots \hspace{5mm} p_{0,k}$$ y la hiena $\frac{k}{2} + i$ come la hiena $i$, las poblaciones mitad de su tamaño después de un día. Por lo tanto, si $2^{n-1} < p_0 \leq 2^n$ de la población no tome más de $n$ días para extinguir.

Así que tal vez, si ves que la población como un proceso estocástico debe conditionate con la posibilidad de que la hiena ser comido ya ha comer otra hermana.

Answer 3

Me quedo con el proceso descrito por ShreevatsaR y Rahul Narain (con el "pensamiento natural". Describir el estado del proceso como $(j,k)$ donde $j$ es el número de las hienas que han comido hoy y $k$ es el número de los que no tienen.
El proceso comienza en el estado de $(0,h)$ (yo prefiero usar $h$ en lugar de $p_0$, porque quiero utilizar $p$ para la matriz de transición de las entradas). Nuestra cadena de Markov ha $\sum_{n=1}^{h} (n+1) = h (h+3)/2$ estados. Si $k \ge 1$$j+k\ge 2$, entonces el resultado de la siguiente etapa (en la que uno de los $k$ hienas se come a otro hiena, elegidos al azar de la $j+k-1$ hienas otros que a sí mismo) es $(j,k-1)$ con una probabilidad de $j/(j+k-1)$ y $(j+1,k-2)$ con una probabilidad de $(k-1)/(j+k-1)$. Si $k = 0$, el resto del día transcurre sin incidentes y nos vamos para el estado de $(0,j)$. Si $k=1$$j=0$, se termina el proceso ($(0,1)$ es el estado de absorción). Queremos saber cuántos días de paso (es decir, cuántas veces estamos en un estado de $(0,k)$$k>1$, marcando el inicio de un día) antes de llegar a $(0,1)$. El número esperado de días que pasan, a partir de los estados distinta de $(0,1)$, de forma que el vector de $u = (I-R)^{-1} b$ donde $R$ es la matriz de transición con la fila y la columna para la absorción de estado retirado, y $b$ es el vector de la con $b_s = 1$ si $s = (0,k)$, $k > 1$, y $b_s = 0$ para cualquier otro estado de absorción.

Los resultados, si he programado correctamente, son como sigue:

$$\matriz{h & \text{días Esperados para la absorción de}\cr 2 & \ 1 \aprox 1.00000 \cr 3 & \ 1 \aprox 1.00000 \cr 4 & \ 3/2 \aprox 1.50000 \cr 5 & \ 11/6 \aprox 1.83333 \cr 6 & \ 47/24 \aprox 1.95833 \cr 7 & \ 239/120 \aprox 1.99167 \cr 8 & \ 371/180 \aprox 2.06111 \cr 9 & \ 689/315 \aprox 2.18730 \cr 10 & \ 94289/40320 \aprox 2.33852 \cr 11 & \ 180541/72576 \aprox 2.48761 \cr 12 & \ 9506489/3628800 \aprox 2.61973 \cr 13 & \ 36300403/13305600 \aprox 2.72820 \cr 14 & \ 673485851/239500800 \aprox 2.81204 \cr 15 & \ 8947500347/3113510400 \aprox 2.87377 \cr 16 & \ 127189413851/43589145600 \aprox 2.91791 \cr 17 & \ 1928840613563/653837184000 \aprox 2.95003 \cr 18 & \ 62260331884711/20922789888000 \aprox 2.97572 \cr 19 & \ 152427596855969/50812489728000 \aprox 2.99981 \cr 20 & \ 403599757786297/133382785536000 \aprox 3.02588 \cr }$$ Dudo que no es una simple forma cerrada de la fórmula.

Answer 4

Aquí es un boceto de un enfoque, que muestran que el número de días de la terminación es asintótica a $c\log (n)$ para algunos computable $c$. Estoy un poco ocupado ahora, pero puedo añadir más detalles más adelante si es necesario.

Deje $n$ el número de hienas en el comienzo de un día. Esto es suficiente para mostrar que la fracción de las hienas sobrevivir hasta el día siguiente, es asintótica a una constante.

Organizar las hienas de izquierda a derecha por sus cronogramas de tiempos de comida. Ahora, la construcción del grafo dirigido en el que las hienas donde un borde de puntos de hiena $A$ a hiena $B$ si $A$ come $B$. Observar que cada válidos gráfico es igual de probable.

Lo que hace este gráfico? Un componente consta de una ruta de acceso de la izquierda con los bordes de terminación en un solo borde hacia la derecha. El número de sobrevivir a las hienas es el número de componentes en el gráfico.

Deje que el número de este tipo de gráficos se $f(n)$. Podemos contar el número de tales gráficos con EGF. Vamos a buscar que $f(n+1)/f(n)\sim \alpha n^d$ para algunas constantes $\alpha$$d$.

Ahora podemos calcular el número esperado de componentes de tamaño $k$, ya que puede contar el número de maneras de elegir un componente de tamaño $k$ y, a continuación, rellene el resto de la gráfica en $f(n-k)\sim \alpha^d n^{kd}f(n)$ maneras. Suma más de $k$ producirá el esperado número de componentes, que deben ser asintóticamente $cn$ para algunas constantes $c$.

Para probar la concentración deseada resultado, podemos usar la desigualdad de Chebyshev. El cálculo de la varianza del número de componentes es equivalente a contar el número esperado de pares de componentes.

Answer 5

Sus condiciones son contradictorios. Si el consumo de tiempo es aleatorio, cada hiena no puede consumir comidas exactamente cada día. La solución fácil es decir que si $p$ es la población actual, tenemos $\frac {dp}{dt}=-p, p(0)=p_0$, donde el tiempo se mide en días. La solución a esto es $p=p_0\exp(-t)$ que ignora la naturaleza discreta de los coyotes. Otra solución es que cada coyote tiene un momento del día en que se consume la otra, y a que hora del día es el mismo todos los días mientras que el coyote está vivo. La diferencia es pequeña mientras que la población es grande, pero en este caso usted tiene por lo menos una muerte por día, así que no hay cola larga.