Aquí hay un bonito gráfico que representa la solución: wolframalpha . Deseo dibujar yo mismo un gráfico de este tipo, pero no tengo ni idea de qué métodos existen y cuáles son los más apropiados para ecuaciones de este tipo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
lowglider
Puntos
562
Ten en cuenta que el gráfico de Wolfram Alpha no es particularmente bueno; puedes ver muchos artefactos irregulares por todas partes, presumiblemente debido a un muestreo inicial insuficiente. Aquí hay uno mejor de Maple, hecho con
plots:-implicitplot(sin(x)+sin(y)-sin(x*y), x=-5..15, y=-10..10, grid=[100,100], gridrefine=2);
El método numérico estándar para trazar la gráfica de una función implícita, digamos $f(x,y) = 0$ es evaluar $f$ en puntos de una rejilla triangular, ver qué celdas de la rejilla tienen un cambio de signo y utilizar la interpolación lineal para aproximar la función en cada celda. Así, si tienes tres puntos de la cuadrícula $A$ , $B$ , $C$ con $f(A) = 1$ , $f(B) = -1$ y $f(C) = 2$ se trazaría un segmento de línea desde el punto medio de $AB$ al grano $1/3$ del camino de $B$ a $C$ .
Un software más sofisticado podría muestrear más puntos en una celda una vez que se ha detectado un cambio de signo, o utilizar la interpolación cuadrática.
Otro enfoque sería resolver numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales como $\frac{dx}{dt} = \frac{\partial f}{\partial y}$ , $\frac{dy}{dt} = - \frac{\partial f}{\partial x}$ partiendo de una solución inicial. Esto tendría problemas en los puntos donde las dos derivadas parciales son $0$ (lo que suele ocurrir en las autointersecciones de la curva). Además, es difícil saber a priori cuántas soluciones iniciales hay que buscar (una en cada componente de la curva).
CodingBytes
Puntos
102
La figura muestra que hay un arco que pasa por el origen que cerca de $(0,0)$ está bien aproximado por la hipérbola $x+y=x y$ . Para este arco (¡una pequeña porción de toda la imagen!) se puede calcular recursivamente una expansión de Taylor como sigue: Escribe $$x(t):=t +\sum_{k=0}^\infty a_{2k} t^{2k}\ ,\qquad y(t):=x(-t)$$ (nótese que he escogido una parametrización particular) y se introduce este "Ansatz" en la ecuación $\sin\bigl(x(t)\bigr)+\sin\bigl(y(t)\bigr)=\sin\bigl(x(t)y(t)\bigr)$ . Utilizando la expansión de Taylor de $\sin$ y comparando los coeficientes de todas las potencias pares de $t$ el $a_{2k}$ ahora se puede determinar uno por uno. Haciendo esto con Mathematica he obtenido los siguientes primeros coeficientes: $$x(t)=t - {t^2\over2} - {t^4\over8} + {t^6\over12} - {319 t^8\over5760} - {541 t^{10}\over26880}+\ldots\quad .$$ Ahora haga un gráfico paramétrico de $t\mapsto\bigl(x(t),x(-t)\bigr)$ para $|t|\leq 1$ y verás el arco en cuestión.
He contado esta historia porque da un enfoque "analítico" a estos problemas y es radicalmente diferente de las ideas expuestas en los otros comentarios y respuestas.
