Qué $\sum_{k=0}^{\infty}\sin\left(\frac{\pi x}{2^k}\right)$ tiene un sencillo formulario con propiedades interesantes?

Question

1. ¿Esta suma converge a un simple aspecto de la función? $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sin\left(\frac{\pi x}{2^k}\right)$$

2. Si no se conoce la forma cerrada de la expresión para esto, lo interesante propiedades de esta suma? Sé que esto no es una pregunta concreta, tan sólo estoy pidiendo opiniones.

3. Hay general de la serie de expansiones para las funciones en términos de sinusoides con la disminución de frecuencias (como mi ejemplo de arriba)?

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Lo que he hecho hasta ahora:

• Traté de conspirar esta en wolfram para un par de términos(tanto como el cuadro de texto me lo permite). Yo también escribí un programa para calcular numéricamente la suma de un mil términos. No pude encontrar ningún patrones reconocibles, pero una cosa interesante que he observado (en responder a mis Q2 anteriormente) es que la curva siempre es positiva a la derecha del eje y y siempre negativos a la izquierda del eje. Si puedo usar enteros positivos para $k$ ( $\frac{\pi x}{k}$ ) en lugar de usar la disminución de potencias de dos (i.e $\frac{\pi x}{2^k}$) para las frecuencias, veo que la curva cruza el eje de x (cruce por cero) en varios lugares, tanto en la izquierda y a la derecha los planos.

• Mis pensamientos en la Q3. Desde la más alta frecuencia de la sinusoide tiene una frecuencia de $\frac{1}{2}$ en mi expresión, no creo que cualquier función puede ser arbitrariamente se expresa mediante la disminución de la frecuencia de los sinusoides. Simplemente me preguntaba si hay un pequeño subconjunto de funciones que puede ser expresado de esta forma (con un factor de escala para cada sinusoide de curso).

Answer 1

Mediante la expansión de $\sin(x)$ como su serie de Taylor,

$$ f(x)=\sum_{k\geq 0}\sin\frac{\pi x}{2^k} = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n\pi^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\sum_{k\geq 0}\frac{1}{2^{k(2n+1)}} $$ por lo tanto $$ f(x) = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \pi^{2n+1}}{(2n+1)!\left(1-\frac{1}{2^{2n+1}}\right)}x^{2n+1}$$ pero el comportamiento de la función en la línea real es bastante caótico:

$\hspace1in$

y no es completamente trivial para probar que una función está acotada como parece ser. De hecho, no lo es: ver robjohn el comentario de abajo, demostrando que la EMC fórmula miserablemente falla aquí.