Preguntas sobre lo $k[x]$-módulo de seguimiento.

Question

Esta es una respuesta a mi pregunta aquí. He tratado de leer algunas de las respuestas, y yo realmente no entiendo lo que están diciendo en los lugares.

1. Por la definición habitual de una $A$-módulo es un grupo abelian $V$ junto con una acción de $A$. La acción está dada por un anillo homomorphism $A \to \text{End}(V)$.

   Realmente no entiendo el motivo de la acción está dado por un anillo de homomorphism $A \to \text{End}(V)$. Podría alguien elaborar sobre esto?

2. Dado un $k$-espacio vectorial $V$ junto con una transformación lineal $T$, podemos dar la $V$ la estructura de una $k[x]$-módulo de la siguiente manera: $k$ actúa en $V$ por la multiplicación escalar y $x$ actúa en $V$$T$. Esto nos dice cómo nada en $k[x]$ actos, ya que todo lo en $k[x]$ es una suma de productos de escalares y $x$'s.

   ¿Cómo se $x$ actuar en $V$$T$? ¿Y esto que nos dicen que cómo cualquier cosa en $k[x]$ actos, ya que todo lo en $k[x]$ es una suma de productos de escalares y $x$'s?

3. A la inversa, dada una $k[x]$-módulo de $M$, podemos ver que $M$ viene con una acción de $k$, por lo que es un espacio vectorial. Escribir $T$ para el mapa de $M \to M$ dado por la multiplicación por $x$. Entonces, desde el $k[x]$ es conmutativa, $T$ $k$- lineal para la mencionada $k$ estructura de espacio vectorial.

   ¿Por qué escribimos $T$ para el mapa de $M \to M$ dado por la multiplicación por $x$? Y por qué no $k[x]$ conmutativa implica que $T$ $k$- lineal?

4. Deje $A = k[x]$ donde $k$ es un campo. A continuación, una $A$-módulo es sólo una $k$-espacio vectorial equipado con un $k$-lineal mapa de $\widehat{x}: V \to V$.

   Un punto de confusión con esto es como sigue. Así que es un $A$-módulo equipado con un lineal fija mapa de $\widehat{x}$ que corresponde a un elemento específico en $k[x]$? O es $\widehat{x}$ puede variar corresponde a todos los elementos de a $k[x]$? O estoy pensando de esta en el camino equivocado y no esta $\hat{x}$ corresponden a $k[x]$ agregado y no un elemento o elementos en él?

Gracias de antemano!

Answer 1

1. Esto es debido a que, si $a\in A$, para cualquier $u, v\in V$,$a(u+v)=au+av$$\cdot 0=0$, por dos de los axiomas que conforman la definición de una $A$-módulo. Así que la multiplicación escalar $m_a$ $V$ es un grupo endomorfismo, y tenemos un mapa $$\DeclareMathOperator{\End}{End}m \colon A \longrightarrow \End(V),\quad \longmapsto(m_a\colon u\mapsto au)$$ Este mapa es un anillo homomorphism, porque $m_1=\operatorname{id}_V$, la unidad de elemento de $\End(V)$$m_{a+b}=m_a+m_b$, que son las traducciones de los axiomas $\;1\cdot u=u$$\;(a+b)u=au+bu$.
2. No olvides $x$ no es una variable, sino una indeterminada: no representa un elemento de $k$, y existe por sí mismo. Así que es mejor utilizar la notación formal X. Esto significa que definen $\; X\cdot u$ $T(u)$ . Como tenemos un anillo de homomorphism, a continuación se $\;X^2\cdot u=(T\circ T)(u)=T\bigl(T(u)\bigr)$, y del mismo modo $$X^k\cdot u=(\underbrace{T\circ T\circ \dotsm\circ T}_{k\;\text{factors}})(u) $$ Por un polinomio, la fórmula de la siguiente manera por la linealidad.
3. Si la multiplicación por $X$ $k$- lineal, por lo que es un $k$-endomoprphism. Por qué no podía denotar la multiplicación por $X$ $T$ cuando la consideramos como un espacio vectorial endomorfismo? Ahora esta pultplication es $k$-lineal porque, si $\lambda\in k$$m\in M$, por los axiomas de los módulos, y la conmutatividad de la $k[X]$, $$T(\lambda m)\stackrel{\text{def}}{=}X(\lambda m)=(X\lambda) m=(\lambda X) m =\lambda (Xm)=\lambda T(m).$$
4. El $k$-lineal mapa de $\widehat X$ corresponde a la multiplicación por $X$. Esto porque un $k$-álgebra homomorphism desde el anillo de polinomios $k[X]$ a una $k$-álgebra $E$ está determinada únicamente por la imagen de $X$.

Answer 2

Esta respuesta de las direcciones de la pregunta 1 sólo.

Olvidar temporalmente acerca de las operaciones de adición en los conjuntos de $A$$V$.

Que es, creo que de $V$ por el momento sólo como un conjunto, y $A$ como un multiplicativo monoid.

Una acción de $A$ $V$ puede ser descrito en dos formas, y son equivalentes, en el sentido de ser explicada.

No es una operación de "la multiplicación escalar", $A \times V \to V$, $(\alpha, v) \mapsto \alpha{v}$, la satisfacción de dos postulados:

• $1v = v$, para todos los $v \in V$.

• $(\alpha\beta)v = \alpha(\beta{v})$, para todos los $v \in V$ y todos los $\alpha, \beta \in A$.

Podemos curry esta función, la obtención de una función de $\mu: A \to (V \to V)$ donde $(V \to V)$ denota el conjunto de todas las funciones de $V \to V$ - si eso no es demasiado confuso! - definido por:

• $(\mu(\alpha))(v) = \alpha{v}\ (\alpha \in A$, $v \in V$).

Si $\iota$ denota la función identity $V \to V$, luego tenemos

• $\mu(1) = \iota$,

• $\mu(\alpha\beta) = \mu(\alpha) \circ \mu(\beta)$, para todos los $\alpha, \beta \in A$.

Es decir, $\mu$ es un homomorphism de la monoid $A$ en el multiplicativo monoid $(V \to V)$ funciones $V \to V$ - lo siento acerca de la notación, de nuevo! - en virtud de la asociativo de la operación de la función de composición, $\circ$.

Por el contrario, vamos a $\mu: A \to (V \to V)$ ser cualquier monoid homomorphism, y definir la multiplicación escalar, $A \times V \to V$, $(\alpha, v) \mapsto \alpha{v}$, por:

• $\alpha{v} = (\mu(\alpha))(v)\ (\alpha \in A$, $v \in V$).

A continuación, los dos postulados de la multiplicación escalar anteriores son satisfechos.

Por otra parte, si pasamos de la "multiplicación escalar" a "monoid homomorphism" y de nuevo, el uso de estos dos procesos, volvemos a la misma operación que empezamos; ídem, si pasamos de la "monoid homomorphism" a "producto escalar" y de vuelta otra vez.

Por lo tanto, hay una especie de equivalencia entre estas dos maneras de describir una acción de un multiplicativo monoid $A$ sobre un conjunto $V$.

Si recordamos ahora las operaciones de adición en $A$$V$, podemos definir el anillo de $\operatorname{End}(V^+)$ funciones $V \to V$ respecto a la operación de adición en $V$; y, al mismo tiempo, podemos especializar a las operaciones de multiplicación escalar, $A \times V \to V$, $(\alpha, v) \mapsto \alpha{v}$ la satisfacción de otras dos postulados:

• $\alpha(v + w) = \alpha{v} + \alpha{w}$, para todos los $v, w \in V$$\alpha \in A$,

• $(\alpha + \beta)v = \alpha{v} + \beta{v}$, para todos los $\alpha, \beta \in A$$v \in V$.

Que es:

• $\mu(\alpha) \in \operatorname{End}(V^+)$, para todos los $\alpha \in A$,

• $\mu(\alpha + \beta) = \mu(\alpha) + \mu(\beta)$, para todos los $\alpha, \beta \in A$.

Por lo tanto, en el proceso que ya se ha considerado para monoid acciones en general, la monoid homomorphism $\mu: A \to (V \to V)$ -restringe a un monoid homomorphism $A \to \operatorname{End}(V^+)$, que es en realidad un anillo homomorphism. Por el contrario, de un anillo homomorphism $\mu: A \to \operatorname{End}(V^+)$, y la definición de la multiplicación escalar en la misma forma que antes, nos encontramos con que los dos nuevos postulados están satisfechos.

Así, el general de equivalencia entre dos formas de especificar una acción de $A$ $V$ aún se mantiene, y cuando especializada en la forma que acabamos de describir, se hace una equivalencia entre: (1) las operaciones de multiplicación escalar para satisfacer todas las cuatro postulados mencionados, y (2) anillo de homomorphisms $A \to \operatorname{End}(V^+)$.