Es siempre válida para cancelar algo como (x-2) en el numerador y el denominador de una función racional?

Question

¿Cuál es la diferencia entre el$f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{x (x - 2)}$$g(x) = \dfrac{x + 2}{x}$? Siempre se puede cancelar el (x - 2) factor? No es una asíntota perdido cuando se hace eso? Cuando me evaluar en $x=2$ con un ordenador, como Wolfram Alpha o algo así, el software siempre se parece a cancelar y, a continuación, evaluar. Es por eso que estoy confundido. Yo creo que debe ser indefinido.

Edit: en Realidad, yo debería haber utilizado el término "punto indefinido" en lugar de "asíntota". Lo que estoy interesado es la derivada. ¿La derivada tiene que conservar este punto indefinido o no? A mí me parece que debo preservar la $(x-2)$ a la hora de calcular la derivada en el fin de preservar el punto indefinido, pero el equipo invariablemente la cancela.

Answer 1

La función de $f(x)$ es de hecho indefinido al $x = 2$.

Sin embargo, $f(x)=g(x)$ al $x \ne 2$. Así, excepto en el punto de $x=2$, las curvas de $y=f(x)$ $y=g(x)$ son geométricamente idénticos. En particular, no hay asíntota se pierde en ir de$f(x)$$g(x)$.

La única diferencia entre el $y=f(x)$ $y=g(x)$ es que la curva de $y=f(x)$ tiene un "agujero" de $0$ anchura en $x=2$. Si se hace una gráfica de las dos curvas, la diferencia será invisible, cualquiera que sea el grado de aumento.

Un argumento razonable el hecho de que el software debe tranquilamente olvide el hecho de que $f(x)$ tiene una singularidad en $x=2$, y dar $f(2)$$g(2)$. No puedo imaginar ninguna situación real donde esto podría causar un problema. De hecho, el tratamiento de la $f$ indefinido en $x=2$ en este caso podría causar una perfectamente válido cálculo para colgar cuando no debe. (No estoy contando una escuela secundaria de prueba como una situación real.)

Answer 2

La respuesta depende de qué tipo de objetos matemáticos $f$ $g$ son:

1. Formal de funciones racionales, que es $f$ $g$ son elementos del campo de las fracciones del polinomio anillo en la variable $x$ a través de algunas de campo -- aquí los números reales, supongo. En este caso, $f$ $g$ son iguales.

2. Funciones en algunos set -- aquí un subconjunto de los reales, supongo. A continuación, $f$ $g$ son funciones diferentes, porque $f$ no está definido en $2$, por lo tanto los dominios de definición de las dos funciones no coinciden. Sin embargo, hay una extensión única de $f$ que se define en $2$ y es una función racional. Esta extensión es $g$.

Answer 3

Esta pregunta ha sido contestada. Pensé que podría ayudar, sin embargo, la gráfica de ambas funciones y comparar los gráficos:

$f(x) = \displaystyle\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$ parece:

Nota el agujero en la gráfica de $f(x)$$x = 2$. Por otro lado, $g(x) = \displaystyle\frac{x+2}{x}$ parece:

.