$\lfloor0.999\dots\rfloor= ?$ $0$ o $1$?

Question

Creo que $\lfloor0.999\dots\rfloor= 1$, $0.999\dots=1$,pero tengo la duda, como $\lfloor0.9\rfloor=0$,$\lfloor0.99\rfloor=0$,$\lfloor0.9999999\rfloor=0$, etc.

Answer 1

Su primera afirmación es correcta. La otra observación se dice que la función $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ no es continua.

Answer 2

Para una cosa, $0.999...$ es exactamente igual a $1$.

Para demostrar que $0.999... = 1$, utilizamos sumas de infinitos progresiones geométricas. Sabemos que $$\sum_{k=0}^\infty r^k = \frac{1}{1-r} \forall \;\left|r\right|\lt1$$ Es bastante simple de probar esta declaración, aunque no voy a entrar en eso. Para nuestro ejemplo, hemos $$0.999... = \frac{9}{10}\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{10})^k = \frac{9}{10} \cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9}{10}\cdot\frac{10}{9}=1$$

Mediante la sustitución de la propiedad, podemos sustituir cualquier alternativa de representación de un número en una ecuación, y producirá el mismo resultado. Por lo tanto,

$$\lfloor0.999...\rfloor = \lfloor1\rfloor = 1$$