¿Cómo derivar composiciones de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas?

Question

Para probar:

$$\begin{align} \sin({\arccos{x}})&=\sqrt{1-x^2}\\ \cos{\arcsin{x}}&=\sqrt{1-x^2}\\ \sin{\arctan{x}}&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ \cos{\arctan{x}}&=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \tan{\arcsin{x}}&=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ \tan{\arccos{x}}&=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\\ \cot{\arcsin{x}}&=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\\ \cot{\arccos{x}}&=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align}$$

Answer 1

Ignoraré los dominios y las posibles raíces de los números negativos . (Si dejas que $\mbox{$ x \in \textbf {]}0, \pi /2[ $}$ todo funciona bien).

Dado $f\circ g$ El truco está demasiado relacionado $f$ con $g^{-1}$ .

Hice algo. Deberías ser capaz de manejar los restantes.

$\bullet \sin (\arccos (x))=\sqrt {1-(\cos (\arccos (x) ))^2}=\sqrt {1-x^2}$

$\bullet \sin (\arctan (x))=\dfrac{\tan (\arctan (x))}{\sqrt {1+(\tan (\arctan (x)))^2}}=\dfrac{x}{\sqrt {1+x^2}}$

Para este he utilizado $$\begin{align}(\cos(x))^2+(\sin (x))^2=1 &\implies 1+(\tan(x))^2=(\sec(x))^2\\ &\implies 1+(\tan (x))^2=\dfrac{1}{1-(\sin (x))^2}\\ &\implies 1-(\sin(x))^2=\dfrac{1}{1+(\tan(x))^2}\\ &\implies \sin (x)=\dfrac{\tan(x)}{\sqrt{1+(\tan(x))^2}}\end{align}$$

$\bullet \tan (\arcsin (x))=\dfrac{\sin (\arcsin (x))}{\sqrt{1-(\sin(\arcsin (x)))^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Para este he utilizado $$\begin{align}(\cos(x))^2+(\sin (x))^2=1 &\implies 1+(\tan(x))^2=(\sec(x))^2\\ &\implies 1+(\tan (x))^2=\dfrac{1}{1-(\sin (x))^2}\\ &\implies \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1-(\sin(x))^2}}\end{align}$$

$\bullet \cot (\arcsin(x))=\dfrac{\sqrt{1-(\sin (\arcsin(x)))^2}}{\sin (\arcsin(x))}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Para este he utilizado $$\begin{align}(\cos(x))^2+(\sin (x))^2=1 &\implies (\cot (x))^2+1=(\csc(x))^2\\ &\implies (\cot (x))^2=\dfrac{1-(\sin(x))^2}{(\sin(x))^2}\\ &\implies \cot(x)=\dfrac{\sqrt{1-(\sin(x))^2}}{\sin (x)}\end{align}$$

$\bullet \cot (\arccos(x))=\dfrac{\cos (\arccos(x))}{\sqrt{1-(\cos (\arccos(x)))^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Para este he utilizado $$\begin{align}(\cos(x))^2+(\sin (x))^2=1 &\implies (\cot (x))^2+1=(\csc(x))^2\\ &\implies (\cot (x))^2=\dfrac{1-(\sin(x))^2}{(\sin(x))^2}\\ &\implies (\cot(x))^2=\dfrac{(\cos(x))^2}{1-(\cos(x))^2}\\ &\implies \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sqrt{1-(\cos(x))^2}}\end{align}$$

Answer 2

Aquí está astart

$$ \sin({\arccos{x}})= \sqrt{1-\cos(\arccos(x))^2}=\sqrt{1-x^2}, $$

desde $\cos(\arccos(x))=x.$ Necesitas usar algunas identidades trigonométricas.

Answer 3

Estoy de acuerdo con el comentario sobre los triángulos en ángulo recto. Por ejemplo, por definición, $\arccos(x)$ es el ángulo $\theta$ en un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$ que se produce junto a un tramo de longitud $x$ y por el teorema de Pitágoras y la definición de seno, el seno de dicho ángulo es $\sqrt{1-x^2}/1$ (haz el dibujo). Los demás pueden mostrarse de forma similar.

Creo que esto es perfectamente riguroso (y se puede extender mediante argumentos de simetría o diferenciación a todo el dominio de la función arcocoseno) -- es sólo cuestión de lo que tomes como definición de partida de las funciones trigonométricas.