Si $f(x) \in F[x]$ es un polinomio resolubles por radicales, ¿esto implica que su grupo de Galois es solucionable al $F$ tiene características de las $p > 0$?

Question

Sabemos que el teorema de la teoría de Galois:

Deje $F$ ser un campo de característica $0$$f(x) \in F[x]$. A continuación, $f(x)$ es soluble por radicales si y sólo si el grupo de Galois de $f(x)$ es solucionable.

Para los campos de la característica $p > 0$ una dirección de este teorema no es cierto. Podríamos tomar a $F = \mathbb{F}_p(t)$$f(x) = x^p - x - t \in F[x]$. Entonces el grupo de Galois de $f(x)$ $\mathbb{F}_p$ que es solucionable, pero $f(x)$ no es soluble por radicales.

¿Qué acerca de la otra dirección? Si $f(x) \in F[x]$ es soluble por radicales, es el grupo de Galois de $f(x)$ solucionable, incluso cuando $F$ tiene características de las $p > 0$?

Answer 1

Existe una posibilidad de que el polinomio no es separable, y por lo tanto no tiene ningún grupo de Galois. El ejemplo estándar es $F=\mathbb{F}_p(t)$, $f(x)=x^p-t$. Aquí $f(x)$ es soluble por radicales, como $z=t^{1/p}$ es su única raíz, de la multiplicidad $p$. Pero la división de campo de la $f(x)$$F(z)$, y que no es una extensión de Galois de $F$.