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Si f(x) \in F[x] es un polinomio resolubles por radicales, ¿esto implica que su grupo de Galois es solucionable al F tiene características de las p > 0?

Sabemos que el teorema de la teoría de Galois:

Deje F ser un campo de característica 0f(x) \in F[x]. A continuación, f(x) es soluble por radicales si y sólo si el grupo de Galois de f(x) es solucionable.

Para los campos de la característica p > 0 una dirección de este teorema no es cierto. Podríamos tomar a F = \mathbb{F}_p(t)f(x) = x^p - x - t \in F[x]. Entonces el grupo de Galois de f(x) \mathbb{F}_p que es solucionable, pero f(x) no es soluble por radicales.

¿Qué acerca de la otra dirección? Si f(x) \in F[x] es soluble por radicales, es el grupo de Galois de f(x) solucionable, incluso cuando F tiene características de las p > 0?

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Existe una posibilidad de que el polinomio no es separable, y por lo tanto no tiene ningún grupo de Galois. El ejemplo estándar es F=\mathbb{F}_p(t), f(x)=x^p-t. Aquí f(x) es soluble por radicales, como z=t^{1/p} es su única raíz, de la multiplicidad p. Pero la división de campo de la f(x)F(z), y que no es una extensión de Galois de F.

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